新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用2空间中的平面与空间向量第1课时平面的法向量及线面位置关系课件新人教B版选择性必修第一册.pptx

第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量第1课时平面的法向量及线面位置关系课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言描述平面,理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.2.能用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直.1.数学抽象——能理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.2.逻辑推理——会用向量法证明直线与平面平行、垂直.要点一平面的法向量?1.法向量的概念如果是空间中的一个平面,是空间中的一个非零向量,且表示的有向线段所在的直线与平面①_______,则称为平面的一个法向量.此时,也称与平面垂直,记作②________.垂直?2.法向量的性质根据定义可知,平面的法向量有如下性质:?（1）如果直线垂直平面,则直线的③___________方向向量都是平面的一个法向量;（2）如果是平面的一个法向量,则对任意的实数,空间向量也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个④_________都平行;（3）如果为平面的一个法向量,为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点,向量一定与向量垂直,即⑤____________,从而可知平面的位置可由和唯一确定.任意一个法向量?1.零向量为什么不能作为平面的法向量?提示因为平面的法向量是用来描述空间中平面的位置的,而零向量的方向是任意的,所以无法用零向量来描述空间中平面的位置,即零向量不能作为平面的法向量.要点二直线、平面垂直、平行的判定?如果是直线的一个方向向量,是平面的一个法向量,则⑥_______;⑦_______________.??,或2.如果与平面共面且,那么就是平面的一个法向量吗???提示当共线时,不一定是平面的一个法向量.?3.若直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线与平面的关系是什么?若呢?提示当时,,所以.当时,因为,所以,所以,或.?1.平面法向量的确定通常有两种方法（1）直接寻找：当几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.（2）待定系数法：当几何体中没有具体的直线可以作为法向量时,根据已知平面内的两条相交直线的方向向量,可以建立空间直角坐标系,运用待定系数法求解平面的法向量.2.求平面的法向量时,只需构建两个方程求解即可.这是因为根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意一条直线,所以法向量的坐标只要满足两个方程就可以了,从这个角度也可以说明一个平面的法向量有无数个,并且这些法向量都是平行的.探究点一求平面的法向量?1.[2021山东青岛二中高二月考]（多选)已知直线过点,且平行于向量,平面过直线与点,则平面的法向量可能是()A.(1,-4,2) B.C. D.(0,-1,1)ABC?[解析]由题意可知,平面的法向量垂直于向量和向量,.选项A,,满足垂直,故正确;选项B,,满足垂直,故正确;选项C,,满足垂直,故正确;选项D,,但,故错误.2.在三棱锥中,两两垂直,,,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面的一个法向量的是()?A?A. B.C.(1,1,1) D.(2,-2,1)?[解析],,设平面的一个法向量为由得解得．又,平面的一个法向量为.?3.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,,是的中点,求平面的一个法向量.[答案]建立如图所示的空间直角坐标系.?依题意可得,则?.设平面的一个法向量为,则,所以取,则,故平面的一个法向量为.?解题感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤（1）设向量:设平面的一个法向量为.（2）选向量:在平面内选取两个不共线的向量.（3）列方程组:由列出方程组.?（4）解方程组:（5）赋非零值:取其中一个为非零值（常取）.（6）得结论:得到平面的一个法向量.探究点二利用空间向量证明线面平行?例如图,在长方体中,,,点分别是的中点,求证：平面.[答案]证明如图,以为原点,的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系.?则??,设平面的一个法向量为,则令,解得.又,.又平面平面.解题感悟利用向量证明线面平行问题的方法（1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.（2）证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.（3）证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示,即用平面向量基本定理证明线面平行.?如图所示,正方体的棱长为分别为和上的点,且,证明：平面.?[答案]证明以为原点,的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,?由于,故则.又平面所以为平面的一个法向量.因为,所以,又平面所以平面探究点三利用空间向量证明线面垂直?例如图所示,在正方体中,分别是的中点.求证：平面.[答案]证明设正方体