新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用1空间中的点直线与空间向量学案新人教B版选择性必修第一册.docx

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空间中的点、直线与空间向量

课标解读

课标要求

素养要求

1.能用向量语言描述直线,理解空间中直线的方向向量的意义及求法.

2.了解空间中两条直线所成的角与两直线的方向向量所成的角的关系,会求空间两条直线所成的角.

3.了解空间中两条异面直线的公垂线段.

1.数学抽象——能判定并求解直线的方向向量.

2.数学运算——会求两异面直线所成的角.

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一空间中的点与空间向量

一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量OP唯一确定，此时，OP通常称为点P的①位置向量，特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的②坐标唯一确定.

要点二空间中的直线与空间向量

一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行，记作③v∥l

按照空间中直线的方向向量的定义可知：

（1）如果A,B是直线l上两个不同的点，则v=AB就是直线l

（2）如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量⑤λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都⑥平行

（3）如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量AB一定与非零向量v平行，从而可知存在⑦唯一的实数λ，使得AB=λv，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点

（4）如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1

要点三空间中两条直线所成的角

1.直线l1,l2的方向向量v1,v2的夹角?v

特别地，sinθ=sin?

2.两直线垂直的充要条件

$l_{1}\perpl_{2}\Leftrightarrow\left\langle{\boldsymbolv}_1,\boldsymbolv_{2}\right\rangle=\frac\mathrm{π}2\Leftrightarrow$⑧v1

要点四异面直线与空间向量

1.直线l1,l

如果A∈l1,B∈l2,v1,

2.两条异面直线的公垂线段

一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称

自主思考

1.点P的位置为什么可以由向量OP唯一确定？

答案：提示因为一个向量和其起点、终点,三者中有两个确定了，第三个就确定了.

2.直线的方向向量是唯一的吗？

答案：提示不唯一.

3.如果两直线的方向向量v1

答案：提示两直线有公共点

4.若直线l1,l2所成的角为30°

答案：提示30°或

5.如何判断v1

答案：提示不满足共面向量定理.

名师点睛

1.在空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件：（1）是非零向量;（2）向量所在的直线与直线l平行或重合.

2.与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.

3.求直线AB的方向向量,就是找与AB平行的任意非零向量,因此可以在直线AB上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的一个方向向量,也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的一个方向向量.

互动探究·关键能力

探究点一求直线的方向向量

自测自评

1.（多选）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱

A.AA1B.C1E

答案：A;B;D

解析：1.由定义知,一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合,则这个向量就称为直线

2.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()

A.(1,2,4)B.(1,4,2)

C.(2,1,4)D.(4,2,1)

答案：A

解析：2.由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与AB共线,是直线l的一个方向向量.

3.已知直线l的一个方向向量v=(2,1,3),且l过A(0,y,3)和B(-1,-2,z),则y=，z=

答案：-32

解析：3.由题意可得,AB=(-1,-2-y,z-3)=λ(2,1,3)

∴λ=-1

解得y=-3

解题感悟

对直线方向向量的两点说明

（1）方向向量的选取：在直线上任取两点P,Q,可得到直线的一个方向向量PQ.

（2）方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量．解题时,可以选取坐标最简的方向向量.

探究点二利用直线的方向向量解决平行、垂直问题

精讲精练

类型1利用直线的方向向量解决平行问题

例1如图,