新教材高中数学第二章平面解析几何2直线及其方程4点到直线的距离学案新人教B版选择性必修第一册.docx

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点到直线的距离

课标解读

课标要求

素养要求

1.探索并学握点到直线的距离公式2.会求两条平行直线间的距离。

1.逻辑推理——会推导点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式.

2.数学运算——能利用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式解决问题.

自主学习·必备知识

见学用57页

教材研习

教材原句

要点一点到直线的距离公式

设P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的

要点二两平行直线间的距离

已知直线l1:Ax+By+C1=0,l2

自主思考

1.直线外一点到直线的距离是直线上的点与直线外一点连线的长度中的最小值吗？

答案：提示是

名师点睛

应用点到直线的距离公式的注意点

（1）求点到直线的距离时，要注意公式中的条件是直线的一般式方程．

（2）公式的形式：分母是直线Ax+By+C=0的x,y项系数平方和的算术平方根，分子是用x0,y

（3）在解决直线方程的问题时，要注意直线的斜率是否存在，以免漏解或错解．

（4）公式对任意的直线都成立，但当直线与x轴、y轴垂直时，可以简化公式，点P0(x0,y0)到x=x

互动探究·关键能力

见学用57页

探究点一点到直线的距离

精讲精练

例（1）求在x轴上且与直线3x+4y-5=0的距离等于5的点的坐标；

（2）求过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程．

答案：（1）设点的坐标为(x,0)，依题意有5=|3x+4×0-5|

∴25=|3x-5|，即3x-5=25或3x-5=-25，∴x=10或x=-20

（2）当斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x+2)，即kx-y+2k+1=0.

由题意得|-k-2+2k+1|k2+1=|3k+2k+1|k2+1，解得k=0或

当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．

∴所求直线方程为y=1或x+2y=0．

变式在本例（2）中，若直线l过点M(-2,1)，且点A(-1,2)到l的距离是点B(3,0)到l的距离的12，求直线l

答案：当斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k(x+2)，即kx-y+2k+1=0.

由题意得|-k-2+2k+1|k2+1=1

所以直线l的方程为x-7y+9=0或x+y+1=0.

当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．

综上，直线l的方程为x-7y+9=0或x+y+1=0.

解题感悟

（1）利用点到直线的距离公式解决相关问题时，不管设直线方程的何种形式，最后都要化成一般式方程后才可用公式.

（2）求直线的方程一般用待定系数法，此时要考虑直线的适用范围，关键是考虑斜率是否存在.

（3）综合运用直线的相关知识，充分发挥几何图形的直观性，用运动观点看待点、直线，有时会起到事半功倍的作用.

迁移应用

1.已知直线l:ax+y+2=0，若点A(-1,-2),B(3,6)到直线l的距离相等，则实数a的值为()

A.-4B.4

C.-4或-2D.2或4

答案：C

解析：∵两点A(-1,-2),B(3,6)到直线l:ax+y+2=0的距离相等，

∴|-a-2+2|a2+1=|3a+6+2|a

2.过点(2,1)的直线l到A(1,1),B(3,5)两点的距离相等，则l的方程为()

A.2x-y-3=0B.x=2

C.2x-y-3=0或x=2D.y=1

答案：C

解析：当直线l的斜率不存在时，直线x=2显然满足题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k=0，

由题意得|-k|k2+1=|k-4|k2

∴直线l的方程为2x-y-3=0，综上，直线l的方程为2x-y-3=0或x=2．

探究点二两平行直线间的距离

精讲精练

例（1）（2021山东聊城高二期末）两直线3x+4y-12=0与6x+my+6=0平行，则它们之间的距离为()

A.95B.18

（2）与两直线3x+2y-4=0和3x+2y+8=0的距离相等的直线的方程是()

A.3x+2y+2=0B.3x+2y-2=0

C.3x+2y±2=0D.以上都不对

答案：（1）C

（2）A

解析：（1）由于两直线3x+4y-12=0与6x+my+6=0平行，则63=m4≠6-12

因此，这两条直线间的距离d=|3+12|

（2）∵直线3x+2y-4=0平行于直线3x+2y+8=0，∴到两平行直线的距离相等的直线与两直线平行，∴可设所求的直线方程为3x+2y+n=0(n≠-4,n≠8)，由题意可得，|n+4|13=|n-8|13，解得

解题感悟

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式.

当直线l1:y=kx+b1,

当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+