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“非对称”韦达定理的处理策略
在圆锥曲线解答题中我们通常利用直线与二次曲线联立得到一元二次方程的韦达定理来处理类似等结构，这些形式通过合理的变形均可以用整体带入的方法达到避开解交点坐标的目的。（这是圆锥曲线大题中普遍使用韦达定理的初衷）但我们在做题中也经常会遇到类似于这种系数不对等的结构，（我们不妨称之为“非对称”韦达定理）显然按照先前的方法就很难顺利的处理掉，本专题就此类问题给出几个常见的处理策略。
实例讲解：已知椭圆过点，且离心率为。
求椭圆方程
（2）分别为椭圆的上下顶点，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，求证：直线的交点在定直线上
解：
椭圆
,设，直线的方程为:
联立方程，得，得
则
直线的方程为：，直线的方程为：
（这里先要根据对称性分析预判交点在平行于轴的定直线上以确定下一步的消元方向！！）
联立两直线方程消元：（的系数不对称了）
（无论怎么消元都会得到类似的一个非对称结构）
下面给出几种处理策略：
策略1：暴力平推（这是没有办法的办法，时间成本高）
由二次方程解出代入化简，
，得
即直线的交点在定直线上
策略2：利用韦达定理保留一个（这是一种试探性的化简，“前途未卜”，不具一般性）
由韦达定理得带入化简
，得
即直线的交点在定直线上
策略3：将与的关系代入化简（倒数反凑对称韦达定理，非对称结构中不含常数项时可尝试此法）
由，得（即）带入化简
，得，即直线的交点在定直线上
策略4：带一点进曲线方程转化为对称韦达定理（常见于非对称乘积结构，参考2020年全国一卷题）
带点进椭圆方程得化简得
进而得到，带入化简（奇迹出现了，“对称韦达定理”）
接下来就是常规套路，不多赘述了。
变式1：已知分别为椭圆的左、右顶点，过点的直线与椭圆交于两点，求证：直线的交点在定直线上
变式2：已知分别为椭圆的左、右顶点，为直线上一点，若直线与椭圆分别交于两点，求证：直线过定点
变式3：已知分别为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于的两动点，若，求证：直线过定点
变式4：已知分别为椭圆的左、右顶点，过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在请说明理由。
强化训练1：椭圆短轴的左右两个端点分别为，，直线与轴、轴分别交于两点，，交椭圆于两点，．
（Ⅰ）若，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线，的斜率分别为，，若，求的值．
强化训练2：如图所示，在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆经过点，其中为椭圆的离心率．过点作斜率为的直线交椭圆于，两点在轴下方）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点且平行于的直线交椭圆于点，，求证：为定值；
（Ⅲ）记直线与轴的交点为，若，求直线的斜率．
我们解决任何一类问题都不能幻想用一种方法“通吃”，只有理解每种方法的本质，实践中才能根据表达式的不同特点快速选择最合理的方法，请同学们对几种方法做一点心得总结：
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