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几何中的最值问题

一、知识点睛

几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”。

求面积的最值，需要将面积表达成函数,借助函数性质结合取值范围求解；

求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理。

_跆理方法

常用定理：

1、两点之间

3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）

线段最短（已知两个定点时）2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）

PA+PB最小，

需转化，

使点在线异侧

二、精讲精练

IPA-PBI最大，

需转化，使点在线同侧

1.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为

蚂蚁A

第1题图

C蜂蜜

,

cm.

B(4,-1)

第4题图

点M、N分别在边OA、

（第5题图

C第3题图

2.

OB上运动，若ZAOB=45°,OP=3\；2，则^PMN周长

3.

4.

5.

6、

如图，点P是ZAOB内一定点

的最小值为。

如图，正方形ABCD的边长是4，

的最小值为。

如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为。

如图，当四边形PABN的周长最小时,a=

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的

ZDAC的平分线交DC于点E,若点P,Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ

正半轴上，OA=3，OB=4,D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2,

D

O

B

y

B

FAx

A

当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为。

7、如图，两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5,

CD=4,P在直线MN上运动，则\PAPB|的最大值等于

E

8、点A.B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得

\PA-PB|的值最大的点，Q是j

\PA-PB|的值最大的点，

Q是j轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP-OQ

第8题图

第11题图

PF±AC于F，M为EF中点，则9、如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC

PF±AC于F，M为EF中点，则

AM的最小值为.

10、 如图，已知AB=10,P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边^APC和等边^BPD，则CD长度的最小值为.

11、 如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在j

TOC\o1-5\h\z轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离。若将^ABP中边PA的长度改为2槌，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为 ? ,

12、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片， B C

使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕

的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动， L

A QD

则点A在BC边上可移动的最大距离为?

13、如图，直角梯形纸片ABCD，AD±AB，AB=8,AD=CD=4,点E、F分别在线段AB、AD上，将^AEF沿EF翻折,

点A的落点记为P.(1)当P落在线段CD上时，PD的取值范围为

(2)当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于.14、在

(2)当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于.

14、在^ABC中，匕BAC=120°，AB=AC=4,M、N两点分别是边AB、AC上的动点，将^AMN沿MN翻折，A点

的对应点为A，,连接BA，则BA的最小值是 ?

如图，在边长为2的菱形ABCD中，匕A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将^AMN沿MN所在直线翻折得到△AMN，连接AC，则AC长度的最小值是

16、 如图，。O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，

PQ切。O于点Q，则PQ的最小值为

17、 如图，已知点P是半径为1的。A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作二ABCD.若AB=打,则二ABCD面积的最大值为?

18、 如图，四边形ABCD中，ZBAD=120°，ZB=ZD=90°，在BC、CD上分别找一点

M、N,使^AMN周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为 。

19、 如图，菱形ABCD中，匕A=60°,AB=3QA、OB的半径