专题2.10幂的运算与新定义问题大题培优专练-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（解析版）.docxVIP

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题2.10幂的运算与新定义问题大题培优专练

班级：_____________姓名：_____________得分：_____________

一．解答题（共30小题）

1．（2023秋?西城区校级期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3．

（1）根据上述规定填空：（3，27）＝3，（4，1）＝0；

（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由．

【答案】（1）3，0；

（2）a+b＝c．

【分析】（1）新定义的运算法则可得答案；

（2）根据新定义可知3a＝5，3b＝6，3c＝30，根据同底数幂的乘法法则，可知3c＝30＝5×6＝3a×3b＝3a+b，即可得到a+b＝c．

【解答】解（1）∵33＝27，

∴（3，27）＝3，

∵40＝1，

∴（4，1）＝0．

故答案为：3，0；

（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，

∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，

∵30＝5×6＝3a×3b＝3a+b，

∴3a+b＝3c，

∴a+b＝c．

【点评】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

2．（2023秋?西城区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．

例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．令（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，

求证：（2，6）+（2，7）＝（2，42）．

【答案】证明过程见解答．

【分析】根据题意，分别将6、7和42表示为幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则进行计算并证明即可．

【解答】证明：∵（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，

∴2x＝6，2y＝7，2z＝42．

∵2x×2y＝2x+y＝2z＝42，

∴x+y＝z，

∴（2，6）+（2，7）＝（2，42）．

【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是本题的关键．

3．（2023秋?南岗区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．

例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：

设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，

故3m?3n＝3m+n＝3×5＝15，

则（3，15）＝m+n，

即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．

（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝2；（5，1）＝0；（3，27）＝3．

（2）计算（5，2）+（5，7）＝（5，14），并说明理由．

（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据上述规定即可得到结论；

（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；

（3）设（2n，3n）＝x，于是得到（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n根据“雅对”定义即可得到结论．

【解答】解：（1）∵22＝4，

∴（2，4）＝2；

∵50＝1，

∴（5，1）＝0；

∵33＝27，

∴（3，27）＝3；

故答案为：2，0，3；

（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，

则5x＝2，5y＝7，

∴5x+y＝5x?5y＝14，

∴（5，14）＝x+y，

∴（5，2）+（5，7）＝（5，14），

故答案为：（5，14）；

（3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n

所以2x＝3，即（2，3）＝x，

所以（2n，3n）＝（2，3）．

【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．

4．（2023秋?叙州区校级月考）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga（M?N）＝logaM+logaN．

（1）解方程：logx4＝2．

（2）log28＝3．

（3）计算：lg2+1g5﹣2021．

【答案】（1）x＝2；

（2）3；

（3）﹣2020