高中数学常用导数 .pdf

这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：

1.常函数（即常数）y=c(c为常数)y=0【y=0y=0：导数为本身的函数之一】

2.幂函数y=x^n,y=n*x^(n-1)(n∈R)【1/X的导数为-1/(X^2)】

3.指数函数y=a^x,y=a^x*lna【y=e^xy=e^x：导数为本身的函数之二】

4.对数函数y=logaX,y=1/(xlna)(a0且a≠1,x0)；【y=lnx,y=1/x】

5.三角函数

(1)正弦函数y=(sinx）y=cosx

(2)余弦函数y=（cosx）y=-sinx

(3)正切函数y=(tanx）y=1/(cosx)^2

(4)余切函数y=（cotx）y=-1/(sinx)^2

6.反三角函数

(1)反正弦函数y=（arcsinx）y=1/√1-x^2

(2)反余弦函数y=（arccosx）y=-1/√1-x^2

高中数学

(3)反正切函数y=（arctanx）y=1/(1+x^2)

(4)反余切函数y=（arccotx）y=-1/(1+x^2)

口诀

为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：

常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，

自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切

函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式

推导

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1.①(u±v)=u±v

②(uv)=uv+uv

③(u/v)=(uv-uv)/v^2

2.原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是

x=g(y)，则有y=1/x.

3.复合函数的导数：

高中数学

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量

的导数--称为链式法则。

4.积分号下的求导法则：

d(∫f(x,t)dtφ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ(x)-f(x,φ(x))φ(x)+∫[fx(x,t)dtφ(x),ψ(x)]

证明

基本初等函数求导公式的证明：

证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，

故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。

2．这个公式的证明过程见右图。

3．y=a^x,

Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)

Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx

如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换

元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。

所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

高中数学

显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0时，(1+β)^1/β=e,所以limβ→0

时，1/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入limΔx→0时，Δy/Δx=limΔx→0时，a^x(a^Δx-1)/Δx后得到

limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^xy=e^x。

4．y=logax

Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x

Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x

因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以

limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有

limΔx→0Δy/Δx=logae/x。

也可以进一步用换底公式

limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=