1.2 全排列和对换（2）.ppt

§2全排列和对换（2）目标：理解对换对全排列奇偶性的影响。一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．例如备注相邻对换是对换的特殊情形.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.m次相邻对换m+1次相邻对换二、对换与排列奇偶性的关系定理1对换改变排列的奇偶性.证明先考虑相邻对换的情形．注意到除外，其它元素的逆序数不改变.当时，，，.当时，，，.因此相邻对换改变排列的奇偶性.既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么2m+1次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变.推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论成立.证明命题：任意改变乘积各因子的次序，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变，其中是的两个排列.每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列与都同时作一次对换，即与同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变.证明：因为乘积各因子的次序的改变，可以由多次因子的对换实现，所以我们只需证明一次乘积因子对换不改变行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性即可。于是与同时为奇数或同时为偶数.即是偶数.因为对换改变排列的奇偶性，是奇数，也是奇数.设对换前行标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为.所以是偶数，因此，交换中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为所以由命题可知：因乘积可改写：特例推论定理2（行列式等价定义）n阶行列式例1试判断a14a23a31a42a56a65和a31a42a13a54a25a66是否六阶行列式中的项.解:a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列,列标排列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数)所以a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项.a31a42a13a54a25a66的列标按标准次序排列,则其行标排列的逆序数为:t(341526)=0+0+2+0+3+0=5(奇数)所以a31a42a13a54a25a66不是六阶行列式中的项.例2用行列式的定义计算解1.对换改变排列奇偶性．2.行列式的二种定义三、小结课后习题