凸集和凸函数和凸规划.ppt

凸函数定理2性质正线性组合第30页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三凸函数定理3设是凸集上的凸函数，则对任意，水平集是凸集．水平集(LevelSet)称为函数f在集合S上关于数的水平集.注：定理3的逆命题不成立.第31页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三下面的图形给出了凸函数的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.凸函数第32页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三凸函数第33页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三定理1:设是定义在凸集上，令则:(1)是定义在凸集是凸集上的凸函数的充要条件是对任意的一元函数为上的凸函数.(2)设若在上为严格凸函数，则在上为严格凸函数．凸函数凸函数的判别定理第34页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之间的部分是一段向下凸的弧．凸函数第35页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三关于凸集和凸函数和凸规划第1页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三凸集---定义线性组合(linearCombination)仿射组合(AffineCombination)凸组合(ConvexCombination)凸锥组合(ConvexConeCombination)第2页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三凸集---定义例二维情况下，两点x1,x2的(a)线性组合为全平面；(b)仿射组合为过这两点的直线；(c)凸组合为连接这两点的线段；(b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.第3页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三凸集---定义第4页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三凸集---定义定义1设集合若对于任意两点及实数都有：则称集合为凸集．常见的凸集：单点集{x}，空集?，整个欧氏空间Rn，超平面：半空间：第5页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三例：证明超球为凸集．证明：设为超球中的任意两点，则有：即点属于超球,所以超球为凸集．凸集----举例第6页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三(1)任意多个凸集的交集为凸集．(2)设是凸集，是一实数，则下面的集合是凸集：凸集-----性质(3)第7页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三推论：设是凸集，则也是凸集，其中是实数．(4)S是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸组合仍然在S中.P23,定理2.9凸集-----性质第8页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三注：和集和并集有很大的区别，凸集的并集未必是凸集，而凸集的和集是凸集．例：表示轴上的点．表示轴上的点．则表示两个轴的所有点，它不是凸集；而凸集．凸集-----性质第9页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三定义设S中任意有限个点的所有凸组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即凸集-----凸包(ConvexHull)定理2.1.4H(S)是Rn中所有包含S的凸集的交集.H(S)是包含S的最小凸集.第10页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三定义锥、凸锥凸集-----凸锥(ConvexCone)第11页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三定义分离(Separation)凸集-----凸集分离定理第12页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三性质定理2.1.5凸集-----凸集分离定理(2)是点到集合的最短距离点的充要条件为：注：闭凸集外一点与闭凸集的极小距离，即投影定理。第13页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三定理2.1.5直观解释我们不妨把一个闭凸集想象为一个三维的充满了气体的气球（不一定为标准球形，但必须是凸的），那么，在气球外一点，到气球各点（包括内部）的距离是不一样的，但直觉告诉我们，肯定在气球上有一点，它到该点的距离是所有距离中最小的。这是凸集的特有性质。如果不是凸集，就不会这样了，比如一个平面上对称心形的图形（它不是凸的）外一点，至少可以找到2点，使其到外面那一点的距离最小。凸集-----凸集分离定理第14页，讲稿共50页，2023年5月2日，星期三凸集分离定理定理2.1.6凸集-----凸集分离定理