2.1 直线的倾斜角与斜率.docx

第二章直线和圆的方程

2.1直线的倾斜角与斜率

2.1.1倾斜角与斜率

例1如图2.1-6，已知，，，求直线，，斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

图2.1-6

解：直线的斜率；

直线的斜率；

直线的斜率．

由及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角．

练习

1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）

（2）

（3）

（4）

【解析】

【分析】（1）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；

（2）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；

（3）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；

（4）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率.

【小问1详解】

解：直线的斜率为.

【小问2详解】

解：直线的斜率为.

【小问3详解】

解：直线的斜率为.

【小问4详解】

解：直线的斜率为.

2.已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】

【分析】根据斜率与倾斜角的关系先计算出倾斜角的正切值，然后根据倾斜角的范围求解出倾斜角.

【详解】设倾斜角为，，

（1）因为，所以；

（2）因为，所以；

（3）因为，所以；

（4）因为，所以.

3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.

（1），；

（2），．

【答案】（1），锐角；（2），钝角.

【解析】

【分析】先根据斜率的计算公式求解出直线的斜率，然后根据斜率的正负判断出倾斜角是锐角还是钝角.

【详解】设倾斜角为，

（1）因为，所以，所以为锐角；

（2）因为，所以，所以为钝角.

4.已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角.

（1），

（2），

（3），．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】（1）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角；

（2）根据横坐标相等判断出直线轴，由此分析得到直线的倾斜角；

（3）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角.

【详解】（1）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为；

（2）因为的横坐标相等，所以直线轴，所以直线的倾斜角为；

（3）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为.

5.经过，两点的直线的方向向量为，求k的值．

【答案】.

【解析】

【分析】根据直线的方向向量得到的含义，结合斜率的计算公式求解出的值.

【详解】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率，

所以，

所以的值为.

2.1.2两条直线平行和垂直的判定

例2已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论．

解：如图2.1-8，由已知可得

直线的斜率；

直线的斜率；

因为，所以直线．

图2.1-8

例3已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明．

解：如图21-9，由已知可得

边所在直线的斜率，

边所在直线的斜率，

边所在直线的斜率，

边所在直线的斜率．

因为，，所以，．

因此四边形是平行四边形．

图2.1-9

例4已知，，，，试判断直线与的位置关系．

解：直线的斜率，

直线的斜率为．

因为，所以直线．

例5已知，，三点，试判断的形状．

分析：如图2.1-10，猜想，是直角三角形．

解：边所在直线的斜率，边在直线的斜率．

由，得，即．

所以是直角三角形．

图2.1-10

练习

6.判断下列各对直线平行还是垂直：

（1）经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；

（2）经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4.

【答案】（1）平行（2）垂直

【解析】

【分析】(1)由题意可得直线l1的斜率，根据直线l1，l2的斜率关系，判断它们的位置关系，

(2).由题意可得直线l3的斜率，根据直线l3，l4的斜率关系，判断它们的位置关系，

【小问1详解】

由题意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以两直线平行；

【小问2详解】

由题意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1?k2＝﹣1，故两直线垂直.

7.试确定m的值，使过，两点的直线与过，两点的直线.

（1）平行；

（2）垂直．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用直线平行斜率相等即可求解.

（2）利用直线垂直斜率乘积等于即可求解.

【详解】过，两点的直线斜率，

当时，直线的斜率不存在，此时直线与直线即不平行也不垂直；

当时，过，两点的直线斜率，

（1）当