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《导数的概念及其几何意义》教学设计

课题：导数的概念及其几何意义

教材分析：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学史上的伟大地位。而导数的概念是微积分核心概念之一，它具有极其丰富的实际背景和广泛应用。导数的概念及其几何意义一课是在学生已经学习了解了一些实际问题的平均变化率的基础上对于瞬时变化率的确切的再认识，同时也是高中数学与大学数学衔接的重要内容章节。考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。

教学目标：

知识与技能：抽象概括并理解导数的概念，发现并学习导数的几何意义。

过程与方法：体会瞬时变化率，归纳形成导数概念。观察函数曲线的变化趋势，发现形成导数的几何意义。

情感态度价值观：学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养，渗透不断逼近和以直代曲的数学思想，以有限认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想的无限魅力。

教学重点：

导数的概念以及导数的几何意义。教学难点：

导数的概念以及导数的几何意义。教学过程：

【复习回顾，创设情境】：回顾什么是平均变化率？

情境1、吹气球的时候，随着气球的不断膨胀，吹起来，会越来越难，这是怎么回事？怎样用数学知识解释这一现象？

情境2、巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片，当陡峭程度不同时，登山运动员的感受程度是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考？

情境3、观看跳水视频，运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系为

。计算运动员在这段时间内的平均速度，并思考下面的问题：

【提出问题】：

问题1：你认为运动员在这段时间内是静止的吗？

问题2：你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

问题3：为了不断提高成绩，应对运动员在不同时刻的“瞬间”速度进行科学分析，如何求运动员的瞬时速度？

问题4：你能够设计一个方案，求运动员的在某时刻的瞬时速度吗？

【解决问题】：

两人一微小组，四人一微大组，经过讨论，大家都得到运动员在这段时间内的平均速度 为0，但是我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”，为什

么会产生这样的情况呢？平均速度只能够粗略的描述物体在某段时间的运动状态，为了能够更精确的刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度，即瞬时速度。分组进行：

第一二组：设计从左侧计算在2秒处平均速度的逼近值；计算在区间、

、的平均速度，说一说哪一个更接近于2秒时的瞬时速度？

第三四组：设计从右侧计算在2秒处平均速度的逼近值；计算在区间、

、的平均速度，说一说哪一个更接近于2秒时的瞬时速度？

经过计算，在数值上，当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度 都趋近于一个确定的值-13.1，从物理的角度看，即该运动员的平均速度当随着时间间隔无限变小，平均速度v就无限趋近于t=2时的瞬时速度。为了表述方便，我们引入一个符号：，即就是，计算方法可以是，

运动员在时刻的瞬时速度为：

当时，瞬时速度的值是-13.1

【导数的概念】：设函数，当自变量x从x0变到x1时，函数值从变到，函数值y关于x的平均变化率为：，当x1趋近于x0时，即趋近于0时，如果平均变化率趋近于一个固定值，那么这个值就是函数在点x0的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数在点x0的导数，通常用符号表示，记作

【提出问题】：

问题1:运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？问题2：函数在某一的瞬时变化率可以怎样表示？

问题3：怎样理解“无限趋近于0”？与的具体取值有关系吗？问题4：怎么求一个函数在某个点处的导数值？

【解决问题】：

1、运动员在某一时刻的瞬时速度即 ；函数在某一点处的瞬时变化率即导数

2、的值与有关，对于不同的值一般有不同的导数值，

与的具体取值无关，可正可负，不可为0。是无限趋向于0。而 可以为0。3、导数即瞬时变化率，同一概念的两个名称。

4、求函数在某点处的导数：一差、二化、三极限，