小学四年级奥数第35讲 容斥原理(含答案分析) .pdf

第35讲容斥原理

一、专题简析：

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当

两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b

分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N＋N－N。

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NaNabNb

二、精讲精练：

例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有

37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁

语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成

的人数。

练习一

1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成

绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的

有多少人？

1

2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物

的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数

学大世界》的有多少人？

例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有

23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？

练习二

1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有

19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？

2

2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》

的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？

例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果

两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

练习三

1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不

会的有4人。两样都会的有多少人？

2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52

人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？

3

例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？

练习四

1、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？

2、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？

例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作

品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书

法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？

4

练习五

1、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110

件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

其他年级参展的作品共有多少件？

2、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中

有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画

共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？

三、课后作业

1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电

子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？

5

2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖

了，有27人两项比赛都没有获奖。已知