专题六　微重点11　圆锥曲线中二级结论的应用.docx

微重点11圆锥曲线中二级结论的应用

圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．

考点一焦点弦问题

核心提炼

1．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l过左焦点F1与椭圆(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2＝α，e为椭圆的离心率，p为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p＝eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c).

(1)椭圆焦半径公式：|AF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).

(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).

(3)焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝b2·tan?eq\f(θ,2).

2．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，直线l过左焦点F1与双曲线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2＝α，e为双曲线离心率，p为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p＝c－eq\f(a2,c)＝eq\f(b2,c).

图1图2

(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).

若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|＝eq\f(ep,e·cosα＋1)，|BF1|＝eq\f(ep,e·cosα－1)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|AF1|)－\f(1,|BF1|)))＝eq\f(2,ep).

(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).

若直线与双曲线交于两支，则|AB|＝||AF1|－|BF1||＝eq\f(2ep,e2·cos2α－1).

(3)焦点三角形的面积公式：P为双曲线上异于实轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝eq\f(b2,tan?\f(θ,2)).

3.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AFx＝α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离．

(1)抛物线焦半径公式：|AF|＝eq\f(ep,1－e·cosα)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)＝eq\f(p,1＋cosα)，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,ep)＝eq\f(2,p).

(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α)＝eq\f(2p,sin2α).

4．焦点弦定理

已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为α，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，则曲线的离心率满足等式|ecosα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ＋1))).

例1(2023·滨州模拟)过椭圆T:eq\f(x2,2)＋y2＝1上的焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，则|AB|＋|CD|的取值范围是()

A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),3)，3\r(3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8\r(2),3)，3\r(3)))

C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8\r(2),3)，3\r(2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),3)，3\r(2)))

易错提醒(1)要注意公式中α的含义．

(2)公式中的加减符号易混淆．

(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样．

跟踪演练1已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF