专题一　微重点1　导数中函数的构造问题.docx

微重点1导数中函数的构造问题

导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．

考点一导数型构造函数

考向1利用f(x)与x构造

例1已知函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，导函数为f′(x)，若f′(x)eq\f(f?x?,x＋1)恒成立，则()

A．f(2)f(3) B．2f(1)f(3)

C．f(5)2f(2) D．3f(5)f(1)

答案B

解析设函数g(x)＝eq\f(f?x?,x＋1)，x≥0，

因为f′(x)eq\f(f?x?,x＋1)，x≥0，

所以(x＋1)f′(x)－f(x)0，

则g′(x)＝eq\f(?x＋1?f′?x?－f?x?,?x＋1?2)0，

所以g(x)在定义域上是减函数，

从而g(1)g(2)g(3)g(5)，

即eq\f(f?1?,2)eq\f(f?2?,3)eq\f(f?3?,4)eq\f(f?5?,6).

所以4f(2)3f(3)，2f(1)f(3)，2f(2)f(5)，3f(1)f(5)．

规律方法(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；

(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(f?x?,xn).

跟踪演练1(2023·常州模拟)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x0时，xf′(x)＋2f(x)0，若f(2)＝0，则不等式x2f(x)0的解集是________________．

答案(－2,0)∪(2，＋∞)

解析构造函数g(x)＝x2f(x)，其中f(x)为奇函数且x≠0，

则g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，

所以函数g(x)为奇函数，

且g(2)＝0，g(－2)＝－g(2)＝0，

当x0时，g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]0，

所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为函数g(x)为奇函数，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增，

故x2f(x)0?g(x)0，

当x0时，g(x)0＝g(－2)，可得－2x0；

当x0时，g(x)0＝g(2)，可得x2.

综上所述，不等式x2f(x)0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．

考向2利用f(x)与ex构造

例2(2023·黄山模拟)已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)－2f(x)0，f(0)＝1，则()

A．e2f(－1)1 B．f(1)e2

C．f?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))e D．f(1)ef?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))

答案C

解析设g(x)＝eq\f(f?x?,e2x)，

则g′(x)＝eq\f(f′?x?·e2x－2f?x?e2x,?e2x?2)

＝eq\f(f′?x?－2f?x?,e2x)，

因为f′(x)－2f(x)0在R上恒成立，

所以g′(x)0在R上恒成立，

故g(x)是减函数，

所以g(－1)g(0)，

eq\f(f?－1?,e－2)＝e2f(－1)eq\f(f?0?,e0)＝1，故A不正确；

g(1)g(0)，即eq\f(f?1?,e2)eq\f(f?0?,e0)，

即f(1)e2f(0)＝e2，故B不正确；

geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))g(0)，

即eq\f(f?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),e1)eq\f(f?0?,e0)＝1，

即f?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))e，故C正确；

geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))g(1)，即eq\f(f?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),e1)eq\f(f?1?,e2)，

即f(1)ef?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，故D不正确．

规律方法(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；

(2)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(f?x?,enx).

跟踪演练2函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)1，则不等式ex·f(x)ex＋1的解集为()

A．{x|x0}

B．{x|x0}

C．{