7.3 离散型随机变量的数字特征.docx

第七章随机变量及其分布

7.3离散型随机变量的数字特征

7.3.1离散型随机变量的均值

例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？

分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时，不中时，因此随机变量X服从两点分布．X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平．

解：因为，，

所以．

即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8．

一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么．

例2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．

分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值．

解：X的分布列为，，2，3，4，5．6．

因此，．

例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示．

表7.3-3

歌曲

A

B：

C

猜对的概率

0.8

0.6

0.4

获得的公益基金额/元

1000

2000

3000

规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．

分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，C全部猜对．获得6000元基金，因此X是一个离散型随机变量，利用独立条件下的乘法公式可求分布列．

解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立．

，

，

，

．

X的分布列如表7.3-4所示．

表7.3-4

X

0

1000

3000

6000

P

0.2

0.32

0.288

0.192

X的均值为

．

例4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：

方案1运走设备，搬运费为3800元；

方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；

方案3不采取措施．

工地的领导该如何决策呢？

分析：决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表7.3-5所示．

7.3-5

天气状况

大洪水

小洪水

没有洪水

概率

0.01

0.25

0.74

总损失/元

方案1

3800

3800

3800

方案2

62000

2000

2000

方案3

60000

10000

0

方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案．

解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，．

采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，．

采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此，

，．

采用方案3，

，，．

于是，，

，

．

因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2．

练习

1.已知随机变量X的分布列为：

X

1

2

3

4

5

P

0.1

0.3

0.4

0.1

0.1

（1）求；

（2）求．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据期望的公式求出即可．

（2）根据期望的性质计算可得；

【详解】解：（1）依题意可得

（2）

2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，求得分X的均值．

【答案】0

【解析】

【分析】根据题意，得分，，求出对应的概率，再求出均值．

【详解】根据题意，得分，，

，，

故．

即得分X的均值为0.

3.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为，其分布列分别为：

甲机床次品数的分布列

0

1

2

3

P

0.4

0.3

0.2

0.1

乙机床次品数的分布列

0

1

2

P

0.3

0.5

0.2

哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？

【答案】乙机床更好

【解析】

【分析】分别求两组数据的期望和方差，比较大小即可得到结论.

【详解】易知，

，乙机床数据的期望较小，即乙级床次品的平均数少；

，

，乙机床数据的方差较小，即乙级床产品更稳定，

所以乙级床更好.

7.3.2离散型随机变量的方差

例5抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差．

解：随机变量X的分布列为，，3，4，5，6．

因为，，

所以．

例6投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示．

表7.3-9股票A收益的分布列

收益X/元

0

2

概率

0.1

0.3

0.6

表7.3-10股票B收益分布列

收益Y/元

0

1

2

概率

0.3