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10.3频率与概率
10.3.1频率的稳定性
例1新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知,我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
(1)分别估计我国2014年和2015年男婴出生率(新生儿中男婴的比率,精确到0.001);
(2)根据估计结果,你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗?
分析:根据“性别比”的定义和抽样调查结果,可以计算男婴出生的频率;由频率的稳定性,可以估计男婴的出生率.
解:(1)2014年男婴出生的频率为,
2015年男婴出生的频率为.
由此估计,我国2014年男婴出生率约0.537,2015年男婴出生率约为0.532.
(2)由于调查新生儿人数的样本非常大,根据频率的稳定性,上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此,我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
例2一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜,事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现:玩了10次时,双方各胜5次;但玩到1000次时,自己才胜300次,而乙却胜了700次.据此,甲认为游戏不公平,但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论?为什么?
解:当游戏玩了10次时,甲、乙获胜的频率都为0.5;当游戏玩了1000次时,甲获胜的频率为0.3,乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性,随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏,1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大,因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时,甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7,存在很大差距,所以有理由认为游戏是不公平的.因此,应该支持甲对游戏公平性的判断.
练习
1.判断下列说法是否正确,并说明理由:
(1)抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5,则抛掷两次硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上;
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币10次,结果是4次正面朝上,所以事件“正面朝上”的概率为0.4;
(3)当试验次数很大时,随机事件发生的频率接近其概率;
(4)在一次试验中,随机事件可能发生也可能不发生,所以事件发生和不发生的概率各是0.5.
【答案】(1)错误,理由见解析;(2)错误,理由见解析;(3)正确,理由见解析;(4)错误,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)随机事件的发生具有偶然性,所以说法错误;
(2)频率不等于概率,所以说法错误;
(3)正确;
(4)发生与不发生的概率不一定相等,所以说法错误.
【详解】解:(1)错误,理由:抛掷一枚硬币是随机试验,在一次试验中出现某种结果也是随机的,所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上.
(2)错误,理由:事件“正面朝上”的频率是0.4,而不是概率是0.4.
(3)正确,理由:这是频率的稳定性.
(4)错误,理由:随机事件发生的概率不一定是0.5.
【点睛】此题考查对频率和概率的理解辨析.
2.用掷两枚硬币做胜负游戏,规定:两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗?
【答案】公平,理由见解析
【解析】
【分析】
分别计算出甲胜和以胜的概率即可得解.
【详解】解:这个游发是公平的,理由:抛掷两枚硬币共有4种等可能结果:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),所以甲、乙获胜的概率都是.
【点睛】此题考查求事件发生的概率,利用概率解决实际问题,通过概率的计算决策游戏的公平性,关键在于准确求出概率.
3.据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人,四种血型的人数如下:
血型
A
B
O
AB
人数/人
7704
10765
8970
3049
频率
(1)计算H省各种血型的频率并填表(精确到0.001);
(2)如果从H省任意调查一个人的血型,那么他是O型血的概率大约是多少?
【答案】(1)见解析;(2)0.294.
【解析】
【分析】
(1)每一种血型的人数除以总人数就是该组频率;
(2)H省任意调查一个人的血型,那么他是O型血的概率大约等于该种血型的频率.
【详解】解:(1)总人数:7704+10765+8970+3049=30488,
,,,
如表:
血型
A
B
O
AB
人数/人
7704
10765
8970
3049
频率
0.253
0.353
0.294
0.100
(2)由(1)知H省O型血的频率为0.294,所以相应概率大约是0.294.
【点睛】此题考查根据已知数据计算频率,并用频率估计概率.
4.分别举出一个生活中概率很小和很大的例子.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
答案不唯一,以买彩票为例子.
【详解】
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