4.3 等比数列例题课后习题变式.docx

1第四章数列

4．3等比数列

4．3．1等比数列的概念

例1若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项．

分析：等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q的方程（组），进行求解．

解法1：由，，得

②的两边分别除以①的两边，得

．

解得

或．

把代入①，得

．

此时

．

把代入①，得

．

此时

．

因此，的第5项是24或．

解法2：因为是与的等比中项，所以

．

所以

．

因此，的第5项是24或．

例2已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示．

解：由题意，得

，①

．②

②的两边分别除以①的两边，得

，

所以

．

例3数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．

分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．

解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，．于是得

解方程组，得

或

所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，．

练习

1.判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．

（1）3，9，15，21，27，33；

（2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；

（3），，，，，；

（4）4，，16，，64，．

【答案】（1）不是；（2）是等比数列，；（3）不是；（4）是等比数列，公比

【解析】

【分析】根据等比数列的定义一一判断即可；

【详解】解：（1）3，9，15，21，27，33；因为，故不是等比数列；

（2），，，，

所以，所以是等比数列，公比

（3），，，，，；

显然，故不是等比数列；

（4）因为，，，，，；

所以，所以是等比数列，公比

2.已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数．

q

2

8

2

0.2

【答案】第一行：4，16，；第二行：50，0.08，0.0032

【解析】

【分析】根据表格中的数据解出，再代入通项公式即可.

【详解】第一行：，所以.

第二行：

3.在等比数列中，，．求和公比q．

【答案】或

【解析】

【分析】设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列的性质求出，即可求出，再代入，即可求出；

【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，因为，，由等比数列的性质可得，，又，

，，

，解得：，

当时，由，所以；

当时，由，所以

所以或

4.对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论．

【答案】是（证明见解析）

【解析】

【分析】根据题意写出通项公式，再由等比数列的定义即可判断.

【详解】由题意知:,

因为，，，为定值常数.

且

所以数列为以为首项，为公比的等比数列.

5.已知数列是等比数列．

（1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？

（2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？

【答案】（1），，成等比数列，，，成等比数列；（2），，成等比数列，，，是等比数列.

【解析】

【分析】（1）分别说明和即可；

（2）分别说明和即可.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

则，，，

，则，，成等比数列，

又，则，所以，，成等比数列；

（2），，

，所以，，成等比数列；

又，则，

所以，，是等比数列.

例4用10000元购买某个理财产品一年．

（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？

（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？

分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，，，…构成等比数列．

解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以

．

所以，12个月后的利息为（元）．

（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是

．

因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为

元．

解不等式，得

．

所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．

例5已知数列的首项．

（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；

（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列．

分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．

证明：（1）由，，得的通项公式为

．

设，则

．

又

，

所以，是以27为首项，9为公比的等比数列．

（2）由，，得

．

两边取以3为底的对数，得

．

所以

．

又

，

所以，是首项为1