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《循环群与置换群》PPT课件

循环群的定义与性质

置换群的概念与分类

循环群与置换群的关系

循环群与置换群的实例

循环群与置换群的习题与解答

目录

循环群的定义与性质

循环群是一种特殊的群，其中存在一个元素（称为生成元）使得该群的每一个元素都可以由该生成元通过有限次乘法得到。

循环群可以用一个元素（生成元）来表示，例如，如果一个群G是循环群，存在一个元素a使得$G={a^n|ninZ}$，其中Z是整数集。

循环群的表示

循环群的数学定义

循环群也可以通过几何方式进行解释。例如，考虑一个圆上的点，并考虑这些点的旋转。如果旋转角度为θ，则可以通过旋转θ、2θ、3θ等来得到圆上的所有点。这可以解释为循环群的操作。

几何解释

几何和代数之间存在密切的联系。通过几何方式理解代数概念（如循环群）有助于更好地理解这些概念的本质和用途。

几何与代数的联系

置换群的概念与分类

由一个置换多次重复形成的群。

循环群

交替群

完全置换群

由两个置换交换位置形成的群。

由所有可能的置换组成的群。

03

02

01

子群

置换群的子集，满足封闭性和结合性。

共轭类

两个置换在共轭关系下形成的类。

循环群与置换群的关系

循环群是置换群的一种特殊形式，其中元素都是循环置换。

循环群中的元素可以表示为$(1),(12),(13),(14),dots,(123),(124),dots,(1234),dots$。

置换群中的元素可以表示为$(1)(2)(3),(1)(3)(2),(2)(1)(3),(2)(3)(1),dots,(12)(34),dots$。

同态和同构是群论中的基本概念，它们描述了两个群之间的相似性。

如果两个群的元素之间存在一一对应的关系，并且满足群的运算性质，则称这两个群是同构的。

如果存在一个映射，使得两个群的元素之间满足一定的对应关系，并且满足群的运算性质，则称这两个群是同态的。

循环群和置换群之间可以存在同态和同构的关系，这取决于具体的映射关系和群的性质。

循环群与置换群的实例

二项式定理中的循环群是数学中的一个重要实例，它展示了循环群的基本性质和特点。

总结词

在二项式定理中，我们常常会遇到组合数，这些组合数可以形成一个循环群。例如，在二项式定理中，我们有C(n+1)=C(n)+C(n-1)，这个公式展示了一个循环群的结构，其中C(n)表示从n个不同项中选取k个的组合数。

详细描述

VS

晶体结构中的置换群是物理学中的一个重要实例，它展示了置换群的基本性质和特点。

详细描述

在晶体结构中，原子的排列是有规律的，这些排列可以形成置换群。例如，在金刚石的晶体结构中，碳原子形成了一个非常稳定的结构，这个结构中的原子排列可以形成一个置换群。这个置换群具有置换群的性质，如封闭性、可结合性、有单位元和逆元等。

总结词

循环群与置换群的习题与解答

什么是循环群？请给出循环群的定义。

习题1

置换群的定义是什么？请举例说明。

习题2

请描述循环群和置换群之间的关系。

习题3

给出几个具体的循环群和置换群的例子。

习题4

解答1

解答2

解答3

解答4

循环群是由一个元素生成的群，其定义是G={a^n|n属于整数}，其中a是G的元素，且a^n表示a自乘n次。

置换群是由有限个置换组成的群，置换可以看作是元素之间的替换。例如，考虑整数集合{1,2,3}，置换(1,2,3)表示元素1被2替换，2被3替换，3被1替换。

循环群是置换群的特例。置换群中的每个元素都可以通过有限次置换到达，而循环群中的元素可以通过无限次置换到达。

例如，整数集合Z在模3下的加法运算是一个循环群，因为每个元素都可以通过加3得到下一个元素。另一个例子是集合{1,2,3}上的置换群，其中包含元素(1,2,3)和(1,3,2)，因为它们分别表示元素之间的替换。

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