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高考数学导数及其应用怎么考

【考点解读】

1．导数（选修II）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数

的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复

合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的

最大值和最小值等。

2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全

国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大

（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一

个主要得分点。

3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调

区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际

中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相

综合的问题。

4．体系整合

导数的概念导数的几何意义基本导数公式

两函数和、差、积、商的导数

导数的运算

导数

复合函数的导数导数的应用

函数的单调性

导数的应用

函数的极值

函数的最值

5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小

或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简

单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的

切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。

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热点一：导数的几何意义

函数y=f(x)在点x导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处

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的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在P(x,f(x))处的切线的斜率是f′(x)，

000

于是相应的切线方程为y－y=f′(x)(x－x)，巧借导数几何意义“传接”的各类综

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合题频频出现。

【错题分析】

[错例1]（2004天津卷20（2））曲线f(x)=x－3x，过点A(0，16)作曲线

3

f(x)的切线，求曲线的切线方程。

误解：f(x)=3x－3，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率

3

kf(0)=－3，所以曲线的切线方程为y=－3x＋16。

剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点

处的导数，而点A(0，16)不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出

直线的方程。

正确解法：设切点坐标3，则切线的斜率2，切线方

M(x,x3x)kf(x)3x3

00000

程y(3x23)x16，又因为点M在切线上，所以x33x3(x23)x16得

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