专题六　第2讲　圆锥曲线的方程与性质.docx

第2讲圆锥曲线的方程与性质

[考情分析]高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．

考点一圆锥曲线的定义与标准方程

核心提炼

1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)．

(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(02a|F1F2|)．

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.

2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”

“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．

例1(1)(2023·全国乙卷)已知点A(1，eq\r(5))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．

答案eq\f(9,4)

解析由题意可得，(eq\r(5))2＝2p×1，

则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，

准线方程为x＝－eq\f(5,4)，则点A到C的准线的距离为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝eq\f(9,4).

(2)(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，则|OP|等于()

A.eq\f(13,5)B.eq\f(\r(30),2)C.eq\f(14,5)D.eq\f(\r(35),2)

答案B

解析方法一因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，①

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，

即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12，②

联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，

由中线定理可知，2|OP|2＋eq\f(1,2)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，

解得|OP|＝eq\f(\r(30),2).

方法二设∠F1PF2＝2θ，0θeq\f(π,2)，

所以＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝b2tanθ，

由cos∠F1PF2＝cos2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)

＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f(3,5)，

解得tanθ＝eq\f(1,2)，

由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，

所以＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|

＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×|yP|＝6×eq\f(1,2)，

解得|yP|＝eq\r(3)，即yeq\o\al(2,P)＝3.

代入椭圆方程得xeq\o\al(2,P)＝9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,6)))＝eq\f(9,2)，

因此|OP|＝eq\r(x\o\al(2,P)＋y\o\al(2,P))＝eq\r(\f(9,2)＋3)＝eq\f(\r(30),2).

方法三因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，①

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，

即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12，②

联立①②，解得|PF1||PF2|＝eq\f(15,2)，|PF1|2＋|PF2|2＝21，

而eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up6(—→))＋eq\o(PF2,\s\up6(—→)))，

所以|OP|＝|eq\o(PO,\s\up6(—→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(—→))＋eq\o(PF2,\s\up6(—→))|

＝eq\f(1,2)eq\r(|\o(PF1,\s\up6(—→))|2＋|\o(PF2,\s\up6(—→))|2＋2|\o(PF1,\s\up6(—→))||\o(PF2,\s\up6(—→))\o(\s\up7(),\s\do5())|cos∠F1PF2)

＝eq\f(1,2)eq\r(21＋2×\f(15,2)×\f(3,5))＝eq\f(\r(30),2).

易错提醒求圆锥曲线的标准方程时的常见错误

双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．

跟踪演练1(1)(2023·资阳模拟