高中数学极限与导数【讲义】 .pdf

高中数学极限与导数【讲义】

极限与导数

一、基础知识1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定

的正数ε，总存在正数m，当nm且n∈N时，恒有|un-A|

ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的

极限，记为)(lim),(limxfxfxx-∞

→+∞

→，另外)(lim0

xfxx+

→=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。

类似地)(lim0

xfxx-

→表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。

2．极限的四则运算：如果0

limxx→f(x)=a,0

limxx→g(x)=b，那么0

limxx→[f(x)±g(x)]=a±b,0

limxx→[f(x)?g(x)]=ab,

lim

xx→).0()()(≠=bb

a

xgxf3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且0

limxx→f(x)存在，并且0

limxx→f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。4．最大值最小

值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最

大值和最小值。5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x

在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增

量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若x

y

x??→?0lim

存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在

点x0处的导数（或变化率），记作f(x0)或0xxy=或

xdx

dy

，即0

00)

()(lim

)(0

xxxfxfxfxx--=→。由定义知

f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上

有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义

是：f(x)在点x0处导数f(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线

的斜率。6．几个常用函数的导数：（1）)(c=0（c为常数）；（2）

1)(-=aaaxx（a为任意常数）；（3）

;cos)(sinxx=(4)xxsin)(cos-=;(5)aaaxxln)(=;(6)xxee

=)(;（7）)(logxaxx

alog1

=；（8）.1

)(lnx

x=

7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则

（1）)()()]()([xvxuxvxu±=±；（2）)()()()()]()([xvxux

vxuxvxu+=；（3）)()]([xucxcu?=（c为常数）；

（4）)()(])(1[

2xuxuxu-=；（5）)

()

()()()(])()([2xuxvxuxvxuxuxu-=。8．复合函数求导法：

设函数y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=?(x))

处可导，则复合函数y=f[?(x)]在点x处可导，且（f[?(x)])=)()]([xx

f??.

9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上

连续；（2）若对一切x∈(a,b)有0)(xf，则f(x)在(a,b)单调递增；

（3）若对一切x∈(a,b)有