专题3.5 解二元一次方程组的应用（压轴题专项讲练）（沪科版）（解析版）.docxVIP

专题3.5解二元一次方程组的应用

【典例1】已知关于x，y的方程组{

（1）请写出方程x+2y=5的所有正整数解；

（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；

（3）无论实数m取何值，方程x-2y+mx+9=0总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？

（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．

【思路点拨】

（1）由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值,从而代入方程得到相应的y值；

（2）由方程组{x+2y=5x+y=0求得x，y的值，代入方程x-2y+mx+9=0即可求得

（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可．

（4）先把m当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，进行判断，再找出符合条件的正整数m的值即可．

【解题过程】

解：（1）由已知方程x+2y=5，移项得x=5-2y，

∵x，y都是正整数，则有x=5-2y＞0，又∵x＞0，

∴0＜y＜2.5，

又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的y值只能是y=1、2，

代入方程得相应x=3、1，

∴方程2x+y=5的正整数解为x=1y=2；

（2）∵x+y=0

∴x+2y=5变为y=5

∴x=-5

将{x=-5y=5代入x-2y+mx+9=0得

（3）∵由题意得二元一次方程x-2y+mx+9=0总有一个公共解

∴方程变为(m+1)x-2y+9=0

∵这个解和m无关，

∴x=0，y=92

（4）将方程组{x+2y=5x-2y+mx+9=0

∴x=-4

∵方程组有整数解且m为整数

∴m+2=±1，m+2=±2，m+2=±4

①m+2=1，计算得：{x=-4y=

②m+2=-1，计算得：{x=4

③m+2=2，计算得：{x=-2y=

④m+2=-2，计算得：{x=2y=

⑤m+2=4，计算得：x=-1y=3（符合题意）∴m=2

⑥m+2=-4，计算得：x=1y=2（符合题意）∴m

综上所述整数m的值为2或-6．

1．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组2x+ay=1bx-y=2时，甲同学看错a得到方程的解为x=3y=4，乙同学看错b得到方程组的x=2y=-3

【思路点拨】

把x=3y=4代入bx﹣y＝2可求出b的值，把x=2y=-3代入2x+ay＝1可求出a的值，把a、b的值代入原方程组即可求出x、y的值，进而求出x+

【解题过程】

解：把x=3y=4代入bx-y=2得：3b-4=2，解得：b=2

把x=2y=-3代入2x+ay=1得：4-3a=1，解得：a=1

∴原方程组为2x+y=12x-y=2

解得：x=3

∴x+y=3

2．（2023·全国·九年级专题练习）甲、乙两人同解方程组ax+by=2,①cx-3y=4．②，甲因看错c的值解得方程组解为x=1y=1，乙求得正确的解为x=2y=-2，求a

【思路点拨】

根据x=1y=1是方程①的解，代入可得关于a、b的方程，根据x=2y=-2是方程组的解，把解代入ax+by=2,①cx-3y=4

【解题过程】

解：把x=1y=1代入方程①，把x=2

a+b=2??①2a-2b=2??②

①×2得2a+2b=4?④

④+②得4a=6，

a=1.5.把a=1.5代入①1得1.5+b=2，

b=0.5，

解③得c=-1，

故答案为：a=1.5b=0.5

3．（2022春·河南商丘·七年级统考期末）甲，乙两同学在解方程组ax-by=13cx-y=4时，甲因看错了b的符号，解得x=3y=2．乙因忽略了c，解得x=5y=1

【思路点拨】

把x=3y=2代入ax+by＝13得出3a+2b＝13③，把x=3y=2代入②得出3c﹣2＝4，求出c，把x=5y=1代入①得出5a﹣b＝13④，由③和④

【解题过程】

解：ax-by=13①

∵甲因看错了b的符号，解得x=3y=2

∴把x=3y=2代入ax+by＝13，得3a+2b＝13③

把x=3y=2代入②，得3c﹣2＝4

解得：c＝2，

∵乙因忽略了c，解得x=5y=1

∴把x=5y=1代入①，得5a﹣b＝13④

由③和④组成方程组3a+2b=135a-b=13

解得：a=3b=2

∴（a﹣b﹣c）2022＝（3﹣2﹣2）2022＝（﹣1）2022＝1．

4．（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组ax+5y=154x-by=-2时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=-3y=-1；乙看错了方程组中的b，而得解为

（1）求出原方程组的正确解．

（2）甲把a看成数是多少？乙把b看成的数是多少？

【思路点拨】

（1）根据题意，把x=-3y=-1代入4x-by=-2，求出b的值，把x=5y=