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余弦定理

千岛湖

3.4km6km120°）情景问题岛屿B岛屿A岛屿C?千岛湖

千岛湖情景问题3.4km6km120°）岛屿B岛屿A岛屿C?3.4km6km120°ABC在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求AC用正弦定理能否直接求出AC？）

化为数学问题已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。例：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C求：c（即AB）ACBbac=?

CBAcab探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.﹚设由向量减法的三角形法则得

CBAcab﹚﹚由向量减法的三角形法则得探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.设

CBAcab﹚由向量减法的三角形法则得探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.设同理：

余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。CBAbac对余弦定理还有其他证明方法吗?

ABCbcaDbcosCbsinCa-bcosC同理：法二

探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.CBAcab﹚(0，0)(a,0)xy(bcosC,bsinC)三坐标法同理：

余弦定理CBAbac推论：角对边的平方等于两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。若则A=若则A=若则A=

余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。CBAbac剖析余弦定理：（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系，从方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；

（3）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。（2）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边；（4）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；若则A=（5）判三角形的形状

应用题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形CABabc

变式练习1、如图所示，已知BD=3，DC=5，∠B=300，∠ADC=450，求AC的长。)450)300DCAB[变式训练2]如图，已知AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长．AD的长为15/8.AC的长

例2.在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形(依次求解A、B、C).解：由余弦定理得题型二、已知三角函数的三边解三角形CABabc

例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6（1)试判断角C是什么角？（2）判断△ABC的形状题型三、判断三角形的形状解：由余弦定理得：

变式训练1：在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）Ａ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定A变式训练2：锐角三角形ABC中，三边长为1,2，x.求x范围

推论：CBAbac知识提炼：提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形△ABC是锐角三角形△ABC是直角三角形

例4在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

变式训练1ABC中已知判断三角形ABC的形状△等腰或直角2已知且试确定△ABC的形状等边三角形

题型四综合应用

思考在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另一个角㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取

小结:余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状余弦定理：推论:数学思想：化归思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、不变量的思想