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华东师大第四版数学分析上册课件

目录

绪论

极限论

连续性

导数与微分

不定积分

定积分

01

绪论

Chapter

数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微性的科学。

总结词

数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性为核心的理论体系。

详细描述

数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。

总结词

数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等，它具有广泛的应用价值。

详细描述

总结词

数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。

详细描述

数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。

02

极限论

Chapter

极限是描述函数在某一点附近的变化趋势的量，记作limf(x)=A，其中f(x)是函数，A是常数。

极限的定义

极限具有唯一性、有界性、局部保号性、局部不等式性质等性质。

极限的性质

函数在某一点的左侧或右侧的极限，记作limf(x)(x→a+)或limf(x)(x→a-)。

函数在某一点两侧的极限，记作limf(x)(x→a)，即双侧极限是单侧极限的共同存在的情况。

双侧极限

单侧极限

极限的四则运算

对于两个函数的极限，可以分别进行加、减、乘、除等运算，得到新的函数的极限。

运算性质

运算性质包括结合律、交换律、分配律等，这些性质在计算函数的极限时非常重要。

03

连续性

Chapter

如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当x满足|x-x0|δ时，都有|f(x)-f(x0)|ε，则称函数f在点x0处连续。

如果对于区间[a,b]内的任意一点x，函数f在x处都连续，则称函数f在区间[a,b]上连续。

函数在某点连续的定义

函数在区间上连续的定义

1

2

3

如果f和g都在点x0处连续，则f+g、f-g和f*g也在点x0处连续。

连续函数的和、差、积运算性质

如果f在[a,b]上连续，g在[c,d]上连续，且g(x)的值域包含在f的定义域中，则复合函数f(g(x))在[c,d]上连续。

连续函数的复合运算性质

如果f在[a,b]上连续，且x趋于a或b时，f(x)的极限存在，则该极限等于f在a或b处的值。

连续函数的极限运算性质

一致连续性的定义

如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当x1和x2满足|x1-x2|δ时，都有|f(x1)-f(x2)|ε，则称函数f在区间[a,b]上一致连续。

等价性定理

如果f和g都在[a,b]上一致连续，且存在一个常数K，使得当x∈[a,b]时，|f(x)/g(x)|≤K，则f和g在[a,b]上等价。

04

导数与微分

Chapter

定义法

公式法

复合函数求导法则

隐函数求导法则

01

02

03

04

通过导数的定义来计算导数。

利用已知的导数公式来计算导数。

通过链式法则和基本初等函数的导数来计算复合函数的导数。

通过对方程两边求导来找到隐函数的导数。

VS

高阶导数是函数在某一点的更高次的变化率。

泰勒公式

泰勒公式是一个将一个函数展开成无穷级数的方法，可以用来近似计算函数的值。

高阶导数

05

不定积分

Chapter

不定积分的定义

不定积分是微分的逆运算，即求一个函数的原函数或不定积分。

要点一

要点二

不定积分的性质

不定积分具有线性性质、积分常数性质和区间可加性质。

利用不定积分的定义和性质，直接求出原函数。

直接积分法

换元积分法

分部积分法

通过换元将复杂函数转化为简单函数，再利用不定积分性质求解。

通过将两个函数的乘积进行微分，将求不定积分转化为求两个函数的导数之和的积分。

03

02

01

06

定积分

Chapter

定积分的定义

定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。

定积分的性质

定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值定理等性质。

微积分基本定理是计算定积分的最基本方法，它将定积分转化为不定积分的计算。

微积分基本定理

当被积函数或积分区间较为复杂时，可以通过换元法简化计算。

换元法

分部积分法是计算定积分的另一种常用方法，适用于被积函数容易分开的情况。

分部积分法

定积分在几何学中有广泛的应用，可以用来计算平面图形的面积、立体图形的体积等。

定积分在物理学中也有很