五年级数学上册 第4讲 包含与排除（教师版）.docxVIP

第4讲包含与排除

内容概述

有重叠部分酌若干对象的计数问题．能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题．

典型问题

兴趣篇

1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？

冬冬去的景有18+5-12=11处

2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？

至少看过一部的小朋友有12+21-8=25人

3．五年级一班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？

至少有一科得满分的人数是：45-29=16人，这样语文得满分的人数是：16+3-10=9人

4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？

至少有一人吃过的菜有13+7-2=18道，这样两人都没吃过的菜有27-18=9道。

5．如图4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问：

(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？

(2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？

只被甲覆盖的部分有30-6-5+2=21，只被乙覆盖的部分有30-6-8+2=18，这样只被甲或乙覆盖的部分有21+18=39

甲、乙、丙三个圆覆盖的总面积为30×3-6-8-5+2=73，73-6-8-5+2×2=58

6．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？

因为A+D+G+F=10，B+E=12，且一共是30人，所以只喝花茶的人是C在的部分，有30-10-12=8人

7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？

光明小学参加课外活动的人有54+46+36-4-7-10+2=117人

8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问：

(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？

（1）至少含有一种维生素的食物有62+90+68-48-36-50+25=111种，所以都不含的食物有120-111=9种。

（2）仅含A的食物有62-48-36+25=3种

9．操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名．跳绳的女生有多少名？

因为这50人只跑步或跳绳，所以E、F都为0，这样：B+D=18，A+B=31，C=14，所以B=18+31+14-50=13人

10．学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项．根据报名的人数，学校决定对象棋的前9名、围棋的前10名和军棋的前11名发放奖品．请问：最少有几人获得奖品？

因为每个人最多参加两个项目，所以每个人最多活动两个奖品，而共有9+10+11=30个奖品，所以最少有30÷2=15个人获得奖品。获奖分布如下图（横线代表获奖）：

拓展篇

1．在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？

办公室有7+10-3=14人

2．五年级二班有40名同学，其中有25人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？

只参加航模小组的人有18-10=8人，所以什么都没参加的人有25-8=17人，所以只参加了两个小组之一的学生有40-17-10=13人

3．在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？

如图，用长方形表示的全部自然数，圆表示中的倍数，圆表示中2的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是的倍数也不是的倍数的数．

由