二次型与标准型.ppt

关于二次型与标准型第1页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三引言：在解析几何中，为了便于研究二次曲线把方程化为标准形的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换第2页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三上式的左边是一个二次齐次多项式。从代数学的观点看，化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项．这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题．第3页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三定义1含有n个变量称为二次型。的二次齐次函数例如二元及三元二次型（举例）第4页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换使二次型只含平方项，也就是代入能使之成为这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形(或法式)。第5页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三如果标准形的系数只在1，-1,0三个数中取值，也就是代入能使之成为则称上式为二次型的规范形。我们利用矩阵来解决这一问题第6页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三一。二次型与可逆线性变换的矩阵表示例1.将下列二次型表示成矩阵乘积的形式：解：先写成对称形式第7页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三第8页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三利用内积写成：第9页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三令：则：第10页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三矩阵是对称矩阵，它是由二次型的系数来决定的，我们称该二次型的矩阵，而二次型称该矩阵的二次型，他们之间是一一对应的。矩阵A的秩称对应二次型的秩，写出了二次型的矩，就容易将二次型表示成矩阵乘积的形式。第11页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三将矩阵与二次型的系数比较，不难发现：1）对角元对应相应平方项的系数，2）非对角元对应相应交叉项系数的一半（另一半为其对称元素）我们将矩阵与未知数的系数列成下表：其中表中数字表对应变量乘积之系数第12页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三例2.写出下列二次型对应的矩阵，并将二次型表示成矩阵乘积的形式：解:其矩阵分别为：第13页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三对应二次型分别写为：下面将可逆线性变换第14页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三利用将线性方程组表示成矩阵的方法（变量X与线性方程组中的常数项对应）可将可逆线性变换用矩阵表示如下：其中C为线性变换对应的矩阵，X,Y为变量对应的向量表示用矩阵乘积表示第15页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三二。将二次型化成标准型：。定义5.7设n阶矩阵A，若有可逆矩阵C使1.将可逆线性变换：代入二次型：得：则称矩阵A与矩阵B合同第16页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三显然，若A为对称阵，则也为对称阵，且R(A)=R(B)故B为对称阵。又因也可逆，由矩阵秩的性质即知。由此可知，经可逆线性变换后，二次型f的矩阵由A变成与A合同的矩阵。且二次型的秩不变。事实上因C可逆，故第17页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三矩阵等价，相似，合同是矩阵的三大关系，总结一下，各自的背景，判定条件，之间的关系，应用。矩阵合同关系是等价关系，故满足：自反，对称，传递2.用lagrang配方法把二次型化标准型，第18页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三上一节我们讲了用正交变换化二次型为标准形，这个问题称主轴问题。由于正交变换有保持图形不变的性质，因此在研究几何图形中被广泛应用但在很多场合下我们只需要用一般可逆线性变换把二次型化标准形。下面我们介绍用Logrange配方法把二次型化成标准形。所用线性变换为可逆线性变换。第19页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三一、Logrange配方法的步骤起头，首先集中所有含的项进行配方，剩下部分再不含起头，则再集中所有含，情形1，如果二次型中含有平方项。不妨设以不妨设以的项的项进行配方。以此类推，直至全部配成平方为止第20页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三情形2，如果二次型中不含有平方项。不妨设含则变换后即含有平方项，再按情形1进行配方即可。将以上每次新老变量的线性变换连乘，即得新变量组到终变量组间的可逆线性变量。的项，令注：通过以下例题可看到用Logrange配方法把二次型化成标准形。的步骤与过程，其一般性证明是