2010年湖南高考理科数学试题及答案.docVIP

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A．B．C．D．

2．下列命题中的假命题是

A．，B．，

C．，D．，

3．极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是

A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线

4．在中，，，则等于

A．B．C．8D．16

5．等于A．B．C．D．

6．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若，，则

A．a＞bB．a＜bC．a=bD．a与b的大小关系不能确定

7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

A.10B.11C.12D.15

8．用表示两数中的最小值.若函数的图像关于直线对称，则的值为A．B．2C．D．1

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是g．

10．如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A,B两点．已知PA=2，点P到的切线长PT=4，则弦AB的长为．

11．在区间上随机取一个数，则的概率为．

12．图2是求的值的程序框图，则正整数．

13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则．

14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则．

15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则，

．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）求函数的零点的集合.

17．（本小题满分12分）

图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.

（Ⅰ）求直方图中的值.

（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列和数学期望.

18．（本小题满分12分）

如图5所示，在正方体中，E是棱的中点.

（Ⅰ）求直线BE的平面所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论.

19．（本小题满分13分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域．

（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；

（Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

20.（本小题满分13分）

已知函数对任意的，恒有.

（Ⅰ）证明：当时，；

（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.

21．（本小题满分13分）

数列中，是函数的极小值点.

（Ⅰ）当时，求通项；

（Ⅱ）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

2010年湖南省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2010?湖南）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）

A．M?N B．N?M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并集，观察两个集合的包含关系即可．

【解答】解：M∩N

={1，2，3}∩{2，3，4}

={2，