中值定理及导数应用习题课.ppt

关于中值定理及导数应用习题课第1页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理机动目录上页下页返回结束第2页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论机动目录上页下页返回结束第3页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.机动目录上页下页返回结束第4页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三例1.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.机动目录上页下页返回结束第5页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点机动目录上页下页返回结束第6页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证机动目录上页下页返回结束第7页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三例4.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即机动目录上页下页返回结束第8页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三例5.机动目录上页下页返回结束设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在第9页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三例6.设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得机动目录上页下页返回结束第10页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题目标函数的建立与简化最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.补充定理(见下页)机动目录上页下页返回结束第11页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三设函数在上具有n阶导数,且则当时证:令则利用在处的n－1阶泰勒公式得因此时定理.机动目录上页下页返回结束第12页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三的连续性及导函数例7.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,机动目录上页下页返回结束单调减区间为;极小值点为;极大值点为.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;第13页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三