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第七讲平面与平面的位置关系

【基础回顾】

一、基础梳理:

位置关系

两平面平行

两平面相交

公共点

没有公共点

有一条公共直线

符号表示

图形表示

α

α

β

α

α

β

a

1．两个平面的位置关系

2.两个平面平行的判定

(1)定义；两个平面没有公共点叫做两个平面平行．

(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

符号表示:a?α，b?α，a∩b＝M，a∥β，b∥β?α∥β．

(3)其他判定方法:a⊥α，a⊥β?α∥β

3.两个平面平行的性质

（1）性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号表示:α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b

（2）α∥β，l⊥α?l⊥β

4.两个平行平面间的距离

与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离．

5．二面角及其平面角

（1）二面角的定义:一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．

（2）二面角的平面角的定义:以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角．

6．平面与平面垂直

(1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

符号表示:．

(3)性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号表示:．

二、基础达标:

1.(2010·扬州中学)设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，给出下列四个

命题:①若m⊥α，n?α，则m⊥n；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.

其中准确命题的序号为________．

2．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题:

①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中准确命题的序号是________．

3．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是________．

4．二面角的平面角所在的平面和二面角的棱的位置关系是________，和二面角的两个半平面的位置关系是________．

5．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________．

【典型例题】

例题1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证:平面A1BD∥平面CB1D1

例题2:已知a和b是异面直线，且a⊥b，a⊥平面α，b平面α，求证:b∥α．

例题3:如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝AC＝2BD，

M是AE的中点．求证:(1)DE＝AD；(2)平面BDM⊥平面ECA.．

例题4:(1)已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC.

求证:平面PAC⊥平面ABC.

(2)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.

①设M是PC上的一点，证明:平面MBD⊥平面PAD；

②求四棱锥P—ABCD的体积．

【巩固练习】

1．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β的四个结论:

①若m?α，l∩α＝A，点A?m，则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③若l⊥α，m∥β，α∥β，则l∥m；

④若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.

其中错误结论的序号是________．

2．下列说法准确的是________(填序号)．

①二面角是两个平面相交所组成的图形；

②二面角是指角的两边分别在两个平面内的角；

③角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角；

④二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱．

3．已知两条直线m，n，两个平面α，β.给出下面四个结论:①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.

其中正确结论的序号是________．

4．(2010年高考湖北卷改编)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列说法：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥γ，b