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2024届山东省潍坊市寿光现代中学数学高三第一学期期末监测试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i为虚数单位,若复数,则复数z等于()
A. B. C. D.0
2.若数列为等差数列,且满足,为数列的前项和,则()
A. B. C. D.
3.已知集合,集合,则()
A. B. C. D.
4.如图在直角坐标系中,过原点作曲线的切线,切点为,过点分别作、轴的垂线,垂足分别为、,在矩形中随机选取一点,则它在阴影部分的概率为()
A. B. C. D.
5.双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=
A.3 B.2
C.3 D.6
6.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开安排的概率为()
A. B. C. D.
7.已知随机变量的分布列是
则()
A. B. C. D.
8.若的内角满足,则的值为()
A. B. C. D.
9.已知,则下列说法中正确的是()
A.是假命题 B.是真命题
C.是真命题 D.是假命题
10.已知集合,,则
A. B.
C. D.
11.已知集合M={x|﹣1<x<2},N={x|x(x+3)≤0},则M∩N=()
A.[﹣3,2) B.(﹣3,2) C.(﹣1,0] D.(﹣1,0)
12.如图所示,正方体的棱,的中点分别为,,则直线与平面所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.函数的最小正周期是_______________,单调递增区间是__________.
14.从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是________(结果用最简分数表示)
15.等腰直角三角形内有一点P,,,,,则面积为______.
16.已知数列的前项满足,则______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为;直线l的参数方程为(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若点P的极坐标为,,求的值.
18.(12分)如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙上一点,,交于点.求证:~.
19.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,求的面积的值(或最大值).已知的内角,,所对的边分别为,,,三边,,与面积满足关系式:,且,求的面积的值(或最大值).
20.(12分)已知曲线的参数方程为(为参数).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若过点的直线与交于,两点,与交于,两点,求的取值范围.
21.(12分)如图所示,直角梯形ABCD中,,,,四边形EDCF为矩形,,平面平面ABCD.
(1)求证:平面ABE;
(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.
(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.
22.(10分)如图所示,在三棱柱中,为等边三角形,,,平面,是线段上靠近的三等分点.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据复数除法的运算法则,即可求解.
【详解】
.
故选:B.
【点睛】
本题考查复数的代数运算,属于基础题.
2、B
【解析】
利用等差数列性质,若,则求出,再利用等差数列前项和公式得
【详解】
解:因为,由等差数列性质,若,则得,
.
为数列的前项和,则.
故选:.
【点睛】
本题考查等差数列性质与等差数列前项和.
(1)如果为等差
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