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EE2012Tutorials
NATIONALUNIVERSITYOFSINGAPORE
DepartmentofElectricalComputerEngineering
EE2012yticalMethodsinECE
Tutorial56ProblemSetonRandomProcesses:Solutions
Notesfromthelecturer:Thisisaverymathematicalproblemset,areflectionofthenatureofrandom
processesandhowwidelyitisusedinECEsystems.Problems#5,8,1012canbeskipped/done
dependingontimeandinterest.Problem#9maybedoneonlyforAMsignals.Tutorsmayalsopickand
choosetodiscuss/skipentireproblemorselectedpartsfromremainingproblemsdependingoninputs
fromtheclass.
1.Inthefair-coinexperiment,wedefheRPX(t)asfollows:x(t)=sintifHshowsandx(t)
=2tifTshows.
(a)FindthepdfofX(t)fort=1,2,p.
(b)FindE(X(t))forvaluesoftasin(a).
(c)IsthisRPSSS?
(a)Fort=1,pdfofrvX(t)isP(X(1)=sin1)=1/2,andP(X(1)=2)=1/2.
Fort=2,rvX(t)takesvaluessin2and4withprobability=1/2..
Fort=p,rvX(t)takesvalues0and2pwithequalprobability=1/2.
(b)E(X(1))=(1/2)(sin1+2).Similarexpressionsholdfort=2andt=p.
(c)RPX(t)isnotSSSaseventhefirstorderpdfisnottoftime.
2.TheRPX(t)=exp[At]isafamilyofexponentialsdependingonthervA.Find
(a)meanofX(t),
(b)autocorrelationR(t,t),and
x12
(c)first-orderpdff(x;t)ofX(t)intermsofpdfofA.
Forafixed
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