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广西大学课程考试试卷
《数值分析》参考解答
一．填空题（每小题2分，共20分）：
1．计算的近似值时，要使其相对误差限，只需取3位有效数字；
2．设近似数的误差限分别为和，则0.05；
3．函数的误差限记为，则1；
4．近似计算:≈-0.01(写成十进制小数形式)；
5．设函数，则均差5；
6．若是的最佳4次逼近多项式，则在上至少有6个偏差点；
7.设是区间上的次勒让德多项式，则0；
8．在求积公式中，辛甫生公式至少具有3次代数精度；
9．将分解为下三角阵与上三角阵之积,即,
则,；
10．设对称矩阵的主特征值，列向量,则是的一个特征向量.
二．单选题（每小题2分，共20分）：
1.根据数值运算误差分析的方法与原则,无需避免的是(B);
A.绝对值很大的数除以绝对值很小的数B.两个非常相近的数相乘
C.绝对值很大的数加上绝对值很小的数D.两个非常相近的数相减
2.设分别为节点上的次拉格朗日插值基函数，
则（A）；
A．B. C. D.
3.当时，其伯恩斯坦多项式（B）；
A. B. C. D.
4．在区间上的最佳次逼近多项式为（B）；
A． B． C. D．
5.设是的平方逼近多项式,则其逼近标准是依据(A)；
A.B.
C.D.
6.若牛顿-柯特斯公式只有一个求积节点,则柯特斯系数(A)；
A.B.C.D.
7．插值型求积公式的代数精度最高可达到(D)次；
A.B.C.D.
8.下列方法不是常微分方程数值解法的是(B)；
A.尤拉方法B.牛顿方法C.梯形方法D.龙格-库塔方法
9.用迭代法解方程,则该方程最好改写为(B)；
A.B.C.D.
10.迭代法解线性方程组收敛的充要条件是（C）；
A． B. C. D.
三．计算题（每小题7分，共42分）：
1.设,试构造基函数求的2次插值多项式,满足:
.
解设的基函数为，则它们满足下列关系 （1分）
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
（2分）
(1)令，则有,
即.所以.
或由，先得.
再由，得，即.由，得，即.
所以. （1分）
(2)令，则有,
即.所以.
或由,先得.再由，得.
所以. （1分）
(3)令，则有，
即.所以
或由,先得.
再由，得，即.所以 （1分）
最后得. （1分）
2.求在区间[-1,1]上的２次最佳一致逼近多项式;
解设所求的2次最佳一致逼近多项式为.令. （2分）
则的首项系数为1,并且当时,与的偏差最小,即与的偏差最小. （2分）
因为上的3次切比雪夫Chebyshev多项式为. （1分）
所以. （2分）
3．利用龙贝格公式计算定积分(计算到即可)：
解，, （1分）
,
,
, （2分）
TSCRn=11617.2590417.3264417.33283
T
S
C
R
n=1
16
17.25904
17.32644
17.33283
n=2
16.94428
17.32223
17.33273
n=4
17.22774
17.33207
n=8
17.30599
,
,
.(2分)
4．利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长计算）
解令，则改进的尤拉公式为：
（2分）
. （2分)
取得，. （1分)
计算结果如下：
1
1
1.2
1.46
1.4
2.0652
1.6
2.84754
（2分)
5．用牛顿法求方程在附近的根（只要求迭代２步）。
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