第二十一章 重积分.doc

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第二十一章重积分

教学目的:了解含参变量定积分的概念、性质及计算;熟练掌握二重、三重积分的概念、性质及计算;会求曲面的面积、立体体积、物体的重心、转动惯量等；掌握格林公式的证明及其应用。

教学内容:1、二重积分的概念:二重积分的概念，可积条件,可积函数，二重积分的性质;

2、二重积分的计算:化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换);

3、格林公式，曲线积分与路径的无关性；

4、三重积分计算:化三重积分为累次积分,换元法（一般变换,柱坐标变换，球坐标变换）；

5、重积分应用：立体体积,曲面的面积,物体的重心，转动惯量。

教学重点：重积分的计算和格林公式

教学难点：化重积分为累次积分

教学时数：2２学时

§1二重积分概念(2学时）

教学目的：理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件

教学重点：二重积分的有关概念及可积条件

教授方法：讲授为主

一．???????矩形域上的二重积分：从曲顶柱体的体积引入，用直线网分割。

定义二重积分

例１???????????用定义计算二重积分.用直线网分割该正方形，在每个正方形上取其右上顶点为介点。

解

．

二.可积条件:D．大和与小和。

Tｈ1,。

Th２，.

Th３在D上连续，在D上可积.

Ｔh4设，为上的可积函数。

D，

(或D）.若在D上有界，且在D＼上连续,则在D上可积.

例２???????????教材P2１７例2

三。?一般域上的二重积分：

1．?????定义：一般域上的二重积分。

2．?????可求面积图形：用特征函数定义。

四.????二重积分的性质：

性质1。

性质2关于函数可加性

性质3则在D上可积在和可积，且．

性质４关于函数单调性

性质5

性质６

性质７中值定理

Tｈ若区域D的边界是由有限条连续曲线(或)组成，在Ｄ上连续，则在D上可积。

例3???????????去掉积分中的绝对值。

§2二重积分的计算（4学时）

教学目的：熟练掌握二重积分的计算问题

教学重点：化二重积分为累次积分，换元法（直角坐标变换）

教授方法：讲授为主

二。化二重积分为累次积分:

1。?????????矩形域上的二重积分:

2。简单域上的二重积分:简推公式，一般结果见教材P２1９Th９。?

例1，．

解法一教材P221例3

解法二为三角形，三个顶点为,

。

例2，。教材Ｐ２21例2。

例3求底半径为的两直交圆柱所围立体的体积.教材P222例4．?

§3Gｒeen公式。曲线积分与路径无关性（4学时)

教学目的:熟练掌握格林公式的证明及其应用，了解曲线积分与路径无关的条件。

教学重点：格林公式及其证明

教授方法:讲授为主

一.????????????Gｒeen公式：

闭区域的正面与边界正向的规定搭配:右手螺旋定向，即以右手拇指表示区域的正面（理解为拇指“站立在”区域的正面上），则其余四指(弯曲）表示边界的正向。右手螺旋定向法则还可表述为:人站立在区域的正面的边界上，让区域在人的左方.则人前进的方向为边界的正向。参阅教材P２24图2１-10．若以Ｌ记正向边界，则用—Ｌ或L表示反向（或称为负向）边界．??

1.Gｒeeｎ公式:

Th21。11若函数P和Q在闭区域DR上连续，且有连续的一阶偏导数，则有

,

其中L为区域D的正向边界.(证）教材Ｐ224

Ｇreen公式又可记为.

１.?????????应用举例：?

对环路积分，可直接应用Ｇｒeｅn公式.对非闭路积分，常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧．

例１???????????计算积分，其中AB.曲线ＡB为圆周

在第一象限中的部分．教材P２26例１

解法一(直接计算积分）曲线AB的方程为。方向为自然方向的反向．因此

．

解法二(用Grｅen公式)补上线段BO和ＯA（O为坐标原点），成闭路。设所围

?

区域为D，注意到D为反向，