2023-2024学年人教版九年级上册数学期末动态几何压轴题专题训练.docx

2023-2024学年人教版九年级上册数学期末动态几何压轴题专题训练

1．如图，是等边三角形，将线段绕点A逆时针旋转至（不与重合），旋转角记为α，的平分线与射线相交于点E，连接．

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(1)如图1，当时，的度数是；

(2)如图2，当时，求证：；

(3)当，，时，请直接写出的长．

2．如图1，等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接、，利用上面结论或所学解决下列问题：

(1)若，求证：；

(2)连接，当点在线段上时．

①如图2，若，则的度数为______；线段与之间的数量关系是______；

②如图3，若，为中边上的高，求证：线段、、之间的数量关系．

3．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

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【阅读材料】（1）如图2，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是______；

【问题探索】（2）如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图1中与的数量关系，并给予证明；

【拓展运用】（3）如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，若，，试求解的取值范围．

4．已知和是等腰直角三角形，，点为中点，连接、．

(1)如图1所示，当点在上，点在上，此时线段与的数量关系是，与的位置关系是．

(2)如图2所示，在（1）的条件下将绕点A逆时针旋转时，请证明此时（1）中与的数量关系与位置关系仍然成立．

(3)如图3，在（1）的条件下将绕点A逆时针旋转时，连接，设中点为G，连接．若，求此时线段的长．

5．在等边中，点D为边上一点，连接．

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(1)如图1，若，求的长；

(2)如图2，将线段绕A点顺时针旋转至位置，连接，交于点F，求证：

(3)如图3，在（2）的条件下，若点D为直线上一点，过点E作于点G，，连接FG，BE，当取得最小值时，请直接写出的面积．

6．已知，如图正方形中，E为上任意一点，过E作，交于F，G为的中点，连和．

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图1?????????????????图2

(1)①如图1，求证：．

②如图1，求证：；

(2)如图2在（1）的条件下，设和的交点为H，，，求的长．

7．如图，已知：以的为边，在的外部分别作等腰和，其中．

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(1)如图（1），若，连接求证：；

(2)如图（2），若，F为的中点，求证：是等腰直角三角形；

(3)如图（3），Q为内部一点，且，，求证：．

8．基本图形：

在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到．

探索：

（1）连接，如图①，试探索线段之间满足的等量关系，并证明结论；

（2）连接，如图②，试探索线段之间满足的等量关系，并证明结论：

拓展：

（3）如图③，在四边形中，．若，，求的长．

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9．如图1，已知，，，，O是的中点．将绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是D，E，连接．

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(1)如图2，当的延长线经过点C时，

①求证：；

②求的面积；

(2)在的旋转过程中，求面积的最小值．

10．已知是中的角平分线，点，分别在边，上，，，与的面积之和为．

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(1)当，，时，如图，若，，则______，______；

(2)如图，当时，

求证：；

直接写出与，的数量关系；

(3)如图，若，，，时，请直接写出的大小．

11．如图（1），已知，，且．

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(1)求证：；

(2)将绕C点旋转（A，C，D三点在同一直线上除外）的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示，求证：；

(3)在（2）的条件下，求证：．

12．如图1，在中，，，点，均在边上（点在点的左侧），且．

(1)如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，求证：；

(2)如图2，若，求证：；

(3)如图3，若，，，求线段的长度．

13．在中，，将线段绕点C旋转，得到线段，连接.

(1)如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则________；

(2)如图2，将线段绕点C顺时针旋转时，

①求证：；

②若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接，如图3.用等式表示线段之间的数量关系，并证明.

14．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．

(1)连接、．

①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：

②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．

(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．

15．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点