吉林大学离散数学课件第六章二次型与对称矩阵.pptVIP

3.1合同变换法定义3.1以初等矩阵作合同因子所进行的合同变换称为初等合同变换.对应于三种初等矩阵，就有三种初等合同变换：i)倍法初等合同变换P(i[k])TAP(i[k]);ii)消法初等合同变换P(i,j[k])TAP(i,j[k]);iii)换法初等合同变换P(i,j)TAP(i,j).注意到P(i[k])T=P(i[k])，P(i,j[k])T=P(j,i[k])，P(i,j)T=P(i,j).则易知上面三种初等合同变换的实际作用为：i)将方阵A的第i行（列）k倍，再将所得的矩阵的第i列（行）k倍；ii)将方阵A的第i行（列）之k倍加于第j行（列），再将所得的矩阵的第i列（行）之k倍加于第j列（行）；.§3合同变换与二次型的规范形iii)将方阵A的i,j两行（列）互换，再将所得矩阵的i,j两列（行）互换.由此看出，一次初等合同变换实际上就是对行、列对称进行的一套初等变换.定理3.1任何合同变换必可经过有限多次初等合同变换实现.证明设方阵A的合同变换为PTAP=B,因为合同因子P可逆，所以必有初等矩阵P1,P2,…,Ps，使得P=P1P2…Ps.于是PTAP=PsT…P2TP1TAP1P2…Ps=PsT…P2T(P1TAP1)P2…Ps=PsT…P3T(P2TA1P2)P3…Ps=……=PsTAs-1Ps=B.其中A1=P1TAP1,…,As-1T=Ps-1TAs-2Ps-1.可见，对A的合同变换PTAP可经过s次初等合同变换实现.例1用初等合同变换把对称矩阵化成对角矩阵.解对A进行初等合同变换如下：B就是与A合同的一个对角矩阵.通过以上例题，我们总结出把对称矩阵化为对角矩阵的一般方法：设CTAC=Λ，由于C=P1P2…Ps,其中P1,P2,…,Ps均为初等方阵.所以（P1P2…Ps)TAP1P2…Ps=Λ,即PsT…P2TP1TAP1P2…Ps=Λ,(1)而PST…P2TP1T=PST…P2TP1TE=CT(2)结合(1)和(2),得出将A化成对角形矩阵，同时求出可逆矩阵C:(A|E)(Λ|CT)A合同变换E作行变换求出CT,作可逆线性变换x=Cy,则该变换将f化为标准形f=k1y12+k2y22+…+kryr2.例2在实数域上，利用合同变换将二次型化成标准形.解由于这种将二次型化为标准形的方法称为合同变换法.作可逆变换x=Cy,即把f化成标准形3.2实二次型的规范形实对称矩阵经过实数域上的合同变换化为对角矩阵后，还可以进一步用实数域上的合同变换把主对角元素的正数都化为1，负数都化为-1。并且可以用换法合同变换适当调整主对角元素的相互位置顺序，使主对角线上的元素从左上角到右下角依次为若干个1，若干个-1，若干个0。从而有：※任何实对称矩阵A必可经过实数域上的合同变换化为如下形式的矩阵(﹡)第六章二次型与对称矩阵二次型及其对称矩阵在数学理论、数值计算及工程应用中都占有重要地位。§1二次型及其矩阵在解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：把方程化为标准形(1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。4.1二次型概念