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2024届拉萨市重点中学数学高三第一学期期末统考试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）

A． B． C． D．2

2．在中，，则=（）

A． B．

C． D．

3．执行如下的程序框图，则输出的是（）

A． B．

C． D．

4．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（）

A．1 B． C． D．

5．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（）

A．2阶区间 B．3阶区间 C．4阶区间 D．5阶区间

6．定义在R上的函数，，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（）

A． B．

C． D．

7．设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()

A． B． C． D．

8．设函数，则使得成立的的取值范围是（）．

A． B．

C． D．

9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

A． B． C． D．

10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A． B．

C． D．

11．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（）

A． B． C． D．

12．设，，，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_________.

14．设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.

15．已知，满足约束条件，则的最小值为______．

16．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________，该几何体的表面积为_________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数.

（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；

（Ⅱ）求函数的定义域和值域.

18．（12分）在中，角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若函数图象的一条对称轴方程为且，求的值．

19．（12分）已知为各项均为整数的等差数列，为的前项和，若为和的等比中项，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求最大的正整数，使得.

20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值．

21．（12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，证明.

22．（10分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．

（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；

（2）求的取值范围．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.

【详解】

根据圆柱的三视图以及其本身的特征，

将圆柱的侧面展开图平铺,

可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，

所以所求的最短路径的长度为，故选B.

点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.

2、B

【解析】

在上分别取点,使得,

可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．

【详解】

如下图，，在上分别取点,使得,

则为平行四边形，故,故答案为B.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．

3、A

【解析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.

【详解】

满足，执行第一次循环，，；

成立，执行第二次循环，，；

成立，执行第三次循环，，；

成立，执行第四次循环，，；

成立，执行第五次循环，