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清华大学信号与系统课件310
时域抽样信号的傅立叶变换概述
时域抽样信号的傅立叶变换的推导过程
时域抽样信号的傅立叶变换的性质
时域抽样信号的傅立叶变换的实例分析
时域抽样信号的傅立叶变换的结论
contents
目
录
01
时域抽样信号的傅立叶变换概述
将一个时域信号转换为频域信号的过程，通过将时间函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的加权和来实现。
线性性、时移性、频移性、共轭性、对称性等，这些性质使得信号在时域和频域之间转换更加灵活和方便。
傅立叶变换的性质
傅立叶变换的定义
揭示信号的频域特征
01
通过傅立叶变换可以将时域信号转换为频域信号，从而揭示信号的频域特征，如频率分量、频谱分布等。
信号处理和通信系统中的应用
02
在信号处理和通信系统中，傅立叶变换是一种重要的工具，用于信号的滤波、调制解调、频谱分析等。
抽样定理的证明
03
时域抽样信号的傅立叶变换在抽样定理的证明中起到关键作用，抽样定理指出，只要抽样频率大于信号最高频率的两倍，就可以完全恢复原始信号。
音频处理
图像处理
雷达和声呐
通信系统
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在音频处理中，傅立叶变换用于分析音频信号的频谱特征，如音乐、语音等。
在图像处理中，傅立叶变换用于分析图像的频域特征，如图像滤波、去噪等。
在雷达和声呐中，傅立叶变换用于分析回波信号的频谱特征，实现目标检测和识别。
在通信系统中，傅立叶变换用于信号的调制解调、频谱分析等，实现信号的有效传输。
02
时域抽样信号的傅立叶变换的推导过程
假设信号是周期性的，即$x(t)=x(t+T)$，其中$T$是信号的周期。
假设抽样频率$f_s$满足Nyquist采样定理，即$f_sgeq2f_c$，其中$f_c$是信号中最高频率分量。
1.首先，写出时域抽样信号的数学表达式：$x_s(t)=sum_{n=-infty}^{infty}x(t-nT_s)$，其中$T_s=frac{1}{f_s}$是抽样周期。
2.然后，对$x_s(t)$进行傅立叶变换，得到频域表示：$X_s(omega)=int_{-infty}^{infty}x_s(t)e^{-jomegat}dt$。
3.将$x_s(t)$的表达式代入$X_s(omega)$中，并进行积分变换，得到：$X_s(omega)=frac{1}{T_s}sum_{n=-infty}^{infty}X(omega-nomega_s)$，其中$omega_s=2pif_s$是抽样角频率。
4.最后，根据频域抽样的性质，得到：$X_s(omega)=sum_{n=-infty}^{infty}X(omega-nomega_s)$。
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时域抽样信号的傅立叶变换的性质
如果一个信号在时域内被周期性地抽样，那么在频域上，这些抽样值将形成离散的谱线。
频域抽样定理
如果抽样频率低于信号最高频率的两倍，则频域上会出现混叠现象，导致信号失真。
频域混叠
在频域上，相邻谱线之间的间隔表示信号的频率分辨率。
频域分辨率
时域周期性
时域抽样信号具有周期性，其周期等于抽样周期。
时域抽样信号的能量等于原始信号的能量，频域抽样信号的能量也等于原始信号的能量。
能量守恒
时域抽样信号的能量分布取决于原始信号的频谱特性，而频域抽样信号的能量分布则取决于抽样频率和原始信号的最高频率。
能量分布
如果抽样频率不满足时域抽样定理的条件，则频域上会出现能量泄漏现象，导致信号能量的损失。
能量泄漏
04
时域抽样信号的傅立叶变换的实例分析
方波信号的傅立叶变换
方波信号是一种非周期信号，其傅立叶变换在频域内表现为离散的冲激函数。通过对方波信号进行傅立叶变换，可以分析其频谱特性，了解信号中包含的频率成分。
频谱分析
方波信号的频谱分析表明，其频谱是离散的，且主要集中在奇数倍的中心频率上。这是因为方波信号在时域内是周期性的，而在频域内表现为离散的冲激函数。
频谱特性
方波信号的频谱特性表明，其频率成分较为单一，主要集中在中心频率处。这种特性使得方波信号在某些应用中具有一定的优势，例如在通信和音频处理等领域。
三角波信号的傅立叶变换
三角波信号是一种周期信号，其傅立叶变换在频域内表现为连续的正弦函数和余弦函数。通过对方波信号进行傅立叶变换，可以分析其频谱特性，了解信号中包含的频率成分。
频谱分析
三角波信号的频谱分析表明，其频谱是连续的，且主要集中在中心频率处。这是因为三角波信号在时域内是周期性的，而在频域内表现为连续的正弦函数和余弦函数。
频谱特性
三角波信号的频谱特性表明，其频率成分较为丰富，覆盖了一定的频率范围。这种特性使得三角波信号在某些应用中具有一定的优势
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