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关于电化学研究方法第1页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三*一、Laplace变换的定义1、定义:已知函数,则积分在P的某一范围内收敛,则该积分式叫做函数的Laplace变换式,P称为Laplace参数,Laplace变量,它是一个能使积分方程式收敛的大数。2、Laplace变换的表示符号:有两种表示方法①将的函数变为P的函数。②第2页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三*这里叫做函数的Laplace变换式,也叫的象函数,叫象函数的原函数。由原函数求象函数叫Laplace变换,由象函数求原函数叫Laplace反演或称Laplace逆运算。∴Laplace变换是将原函数进行微分运算得象函数的代数式,用象函数的代数式来表示原函数的微分形式。第3页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三*3、例①求指数函数的Laplace变换式,解②求的Laplace变换式(常数的Laplace变换式)常数A的Laplace变换式是,B的Laplace变换式4、Laplace变换的性质:①和的Laplace变换为Laplace变换的和,即的Laplace变换为②第4页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三*二、Fick第二定律的Laplace变换式1、平面电极上Fick第二定律的Laplace变换式Fick第二定律的表达式:(1-1)1-1式表示无对流,无电迁移,无均相化学反应(无前置、随后反应),非稳态扩散速度表达式。Fick第二定律Laplace变换的目的是求浓度的Laplace变换式,首先看平面电极上的扩散行为:浓度的象函数的代数式。(1-1)式的Laplace变换式(2-1)(2-1)式的Laplace变换有两种形式:第5页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三*①形式之一:求出(2-1)式两边的Laplace变换式就可以得出Fick第二定律在平面电极上的Laplace变换式。(2-1)式左边的Laplace变换式:采用分部积分法得.∴(2-2)求2-1式右边的Laplace变换式:第6页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三(是,的连续函数,那么的积分和微分的阶数是不重要的)(2-3)2-2,2-3代入2-1得:两边除得(2-4)2-4就是Fick第二定律的Laplace变换式的一种.在研究问题时,常常需要另一种形式的Fick第二定律的Laplace变换式。第7页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三*②形式之二:引入一个新的函数:令(2-5)为本体浓度,为电极表面附近液层中离子浓度。为的函数,那么也是的函数。将2-5式进行Laplace变换:(2-5)将2-6对求二阶导数第8页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三*(2-8)(2-8)为Fick第二定律Laplace变换的另一种形式,(2-4),(2-8)为平面电极上Fick第二定律Laplace变换式的两种形式,但这两个式子仍然是象函数的微分形式,要进一步求解才能真正得出浓度的象函数表达式。(将(2-4)代入(2-6)’代入(2-7)第9页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三2、球面电极扩散方程Laplace变换式:球面电极的扩散方程:(2-9)为电极表面与球心的距离,?为球的半径,我们习惯于用表示与电极表面的距离,要求球面电极的Laplace变换式,要定义一新的浓度变量。将2-10对求导得:(1)(2-10)第10页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三*(2-10)对求二阶导数:(2)(1)(2)代入2-9式得:(2-11)2-11与(1-1)式有相同的形式,两边进行Laplace变换得:左边第11页,讲稿共29页,2023年5月2日,星期三*右边与2-8式相同(2-8)(2-12)(2-12)式为球面电极的扩散方程的Laplace变换式,(2-12)与(2-8)具有相同的形式,是常微分方程
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