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2024届江西省玉山县樟村中学高三数学第一学期期末综合测试试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,则不等式的解集是()
A. B. C. D.
2.若的展开式中含有常数项,且的最小值为,则()
A. B. C. D.
3.函数,,的部分图象如图所示,则函数表达式为()
A. B.
C. D.
4.若,则实数的大小关系为()
A. B. C. D.
5.已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
6.设命题p:1,n22n,则p为()
A. B.
C. D.
7.若实数、满足,则的最小值是()
A. B. C. D.
8.设双曲线(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
9.已知等差数列的公差不为零,且,,构成新的等差数列,为的前项和,若存在使得,则()
A.10 B.11 C.12 D.13
10.如图,平面四边形中,,,,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()
A. B. C. D.
11.记其中表示不大于x的最大整数,若方程在在有7个不同的实数根,则实数k的取值范围()
A. B. C. D.
12.从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则在方程表示双曲线的条件下,方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在中,,.若,则_________.
14.已知圆C:经过抛物线E:的焦点,则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.
15.在数列中,,则数列的通项公式_____.
16.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积是_____;最长棱的长度是_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在中,角所对的边分别为,若,,,且.
(1)求角的值;
(2)求的最大值.
18.(12分)[选修4??5:不等式选讲]
已知都是正实数,且,求证:.
19.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线的左焦点在直线上.
(Ⅰ)求的极坐标方程和曲线的参数方程;
(Ⅱ)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
20.(12分)如图,湖中有一个半径为千米的圆形小岛,岸边点与小岛圆心相距千米,为方便游人到小岛观光,从点向小岛建三段栈道,,,湖面上的点在线段上,且,均与圆相切,切点分别为,,其中栈道,,和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧(圆上实线部分)上再修建栈道.记为.
用表示栈道的总长度,并确定的取值范围;
求当为何值时,栈道总长度最短.
21.(12分)已知函数
(1)当时,求不等式的解集;
(2)的图象与两坐标轴的交点分别为,若三角形的面积大于,求参数的取值范围.
22.(10分)已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点,点,直线的斜率为1.
(1)求椭圆的方程;
(1)若过点的直线与椭圆交于两点,线段的中点为,是否存在直线使得?若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
构造函数,通过分析的单调性和对称性,求得不等式的解集.
【详解】
构造函数,
是单调递增函数,且向左移动一个单位得到,
的定义域为,且,
所以为奇函数,图像关于原点对称,所以图像关于对称.
不等式等价于,
等价于,注意到,
结合图像关于对称和单调递增可知.
所以不等式的解集是.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式,属于中档题.
2、C
【解析】
展开式的通项为
,因为展开式中含有常数项,所以,即为整数,故n的最小值为1.
所以.故选C
点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定
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