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2024届江西省宜春市宜丰中学数学高三上期末检测模拟试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设,若函数在区间上有三个零点,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
2.双曲线:(),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数是()
A.160 B.240 C.280 D.320
4.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是()
A. B. C. D.
5.()
A. B. C. D.
6.已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,则球O的表面积为()
A. B. C. D.
7.已知复数,其中,,是虚数单位,则()
A. B. C. D.
8.定义在上的偶函数,对,,且,有成立,已知,,,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
9.已知函数且,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
10.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()
A. B. C. D.
11.已知命题:使成立.则为()
A.均成立 B.均成立
C.使成立 D.使成立
12.设等比数列的前项和为,则“”是“”的()
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数若关于的不等式的解集是,则的值为_____.
14.已知复数对应的点位于第二象限,则实数的范围为______.
15.设,若关于的方程有实数解,则实数的取值范围_____.
16.展开式的第5项的系数为_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图所示的几何体中,,四边形为正方形,四边形为梯形,,,,为中点.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值.
18.(12分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,整理如下:
甲公司员工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350
乙公司员工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件0.65元,乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.
(1)根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数;
(2)为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为(单位:元),求的分布列和数学期望;
(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
19.(12分)已知函数,,设.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)设方程(其中为常数)的两根分别为,,证明:.
(注:是的导函数)
20.(12分)设,
(1)求的单调区间;
(2)设恒成立,求实数的取值范围.
21.(12分)设函数,直线与函数图象相邻两交点的距离为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)在中,角所对的边分别是,若点是函数图象的一个对称中心,且,求面积的最大值.
22.(10分)如图,已知在三棱锥中,平面,分别为的中点,且.
(1)求证:;
(2)设平面与交于点,求证:为的中点.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
令,可得.
在坐标系内画出函数的图象(如图所示).
当时,.由
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