分离变量法有界弦的自由振动.ppt

本征方程X?(x)+?X(x)=0的本征值与本征函数边界条件本征值本征函数n的取值u?x=0=0，u?x=L=0n=1,2,3,…n=0,1,2,3,…n=0,1,2,3,…n=0,1,2,3,…第63页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三感谢大家观看第64页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三************************对比：第31页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三第32页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三方程一的解方程二的解第33页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三第34页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三确定的时间t0确定的弦点弦的空间形状是一条正弦曲线,其振幅与t0有关。弦点在其平衡位置附近作简谐振荡，其振幅与x0有关。讨论:本征解的物理意义第35页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三第36页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三un(x,t)表示这样一个运动：在考察的弦上各点，以同样角频率?n作简谐振动，各点处的初位相?n也相同，而各点的振幅则随点的位置改变而变化，此时振动的波形，在任何时刻都呈现正弦曲线。●●●●波节波腹第37页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三正弦曲线的零点:正弦曲线在[0,L]区间有n+1个零点,即波形在该区间有n+1个节点xm，第1个节点在x0=0，第n+1个节点在xn=L。结论：有界弦自由振动的本征解为驻波。零点位置:讨论:本征解为驻波第38页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三0Lx0(驻波条件)(?为波长)第39页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三第40页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三“单模激光”是工作在单个本征态的典型的物理系统，单模激光的产生满足“驻波条件”：激光谐振腔x驻波条件：腔长等于半波长的整数倍E单个本征态的例子：单模激光第41页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三x0axn=1n=2n=3势阱中粒子的一个本征态对应于一个特定波长的驻波：单个本征态的又一个例子:势阱粒子的几率波第42页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三每个本征解表示一个谐波,第n个本征解表示n阶谐波:谐波的叠加给出一般波形:谐波与一般波形第43页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三若弦还受到时空依赖的外力的作用(设弦单位长度受力为F(x,t)，其方向竖直于x轴):0xxu水平方向：没有变化竖直方向：回顾受迫振动方程:第44页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三受迫振动方程注:齐次方程:只含有对u的各种运算非齐次方程：含有对u运算之外的项f(x,t),被称为驱动项,或自由项第45页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三长度为L，线密度为，且两端固定的弦在某种介质中作微振动，设弦在介质中振动时受到的阻力与振动的速度成正比。已知弦振动的初始位移与初始速度分别为和，试求弦上任意点x在任意时刻离开其平衡位置的位移。例2：阻尼弦振动:第46页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三任意t时刻弦的形状:0xu弦振动时单位长度受到的阻力可以表示为L介质的阻力负号表述阻力与振动方向相反比例系数振动方向第47页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三现在阻尼弦振动：定解问题第48页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三虽然泛定方程比标准形式多了阻尼项，但仍然是线性齐次方程，而边界条件是齐次的，故可以用分离变量法求解。令第49页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三通解：定解问题的本征解：一般解：初始条件第50页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三10-14Lx弦的初始状态弦左端点不固定（左端的切线斜率为零）例5：弦振动第