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专题12三角恒等变换十个重难点归类
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）；（2）
记忆口诀：“CCSS，符号改变”；
（3）；（4）
记忆口诀：“SCCS，符号不变”；
（5）
（6）
二、二倍角公式
（1）
（2）
（3）
三、公式的常用变形
（1）降幂公式：；；
（2）辅助角公式：，其中，，
（3）积化和差
，
，
（4）和差化积
，
，
【重难点一和差公式的简单应用】
例1．已知，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，进行计算即可求解.
【详解】根据，，
得，．
两式分别相加、减，可得，．
易得，，，所以上述两式相除，得．
故选：D．
例2．若，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出、的值，利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】因为，，所以，，
所以.
故选：C.
【跟踪练习】
练习1．已知为钝角，为钝角满足，则．
【答案】
【分析】根据同角的三角函数关系求出，利用两角和的余弦公式求出的值，结合角的范围，即可求得答案.
【详解】由于为钝角，为钝角，，
所以，
所以．
又因为为钝角，为钝角，所以，
所以．
故答案为：．
练习2．已知都是锐角，且，则.
【答案】
【分析】利用两角和的正切公式先求出，再求出，从而可求出的值.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：
练习3．求下列函数值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用余弦两角差公式进行求解即可；
（2）利用诱导公式，结合（1）的结论进行求解即可；
（3）利用诱导公式，结合余弦两角和公式进行求解即可；
（4）利用诱导公式，结合（1）的结论进行求解即可；
（5）利用正切两角差的公式进行求解即可；
（6）利用诱导公式，结合正切两角和公式进行求解即可
【详解】（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
（5）
（6）
练习4．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据题意，逆用余弦的和差角公式，结合诱导公式即可得解.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
【重难点二二倍角与降幂公式的简单应用】
例3．若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角公式及齐次式的处理方法，即可求解.
【详解】
.
故选：A.
例4．已知为第二象限角，，则．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.
【详解】因为，为第二象限角，所以，
则，所以.
故答案为：
【跟踪练习】
练习1．若，则.
【答案】
【分析】根据诱导公式整理等式，结合同角三角函数的商式关系，利用正切函数的二倍角公式，可得答案.
【详解】由题意可得：，可得，
.
故答案为：.
练习2．若，且，则
【答案】
【分析】根据三角函数的基本关系式，结合“齐次式”的运算，求得，再利用正切的倍角公式，即可求解.
【详解】由，
因为，可得，解得或，
又因为，所以，则.
故答案为：.
练习3．已知，则.
【答案】/
【分析】利用余弦的二倍角公式结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：
练习4．已知为锐角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2)5.
【分析】（1）应用和角正切公式及已知可得，即可求；
（2）利用倍角正弦公式、同角三角函数关系，应用齐次式由弦化切求值即可.
【详解】（1），所以.
（2）.
【重难点三利用条件中的角恒等变换求值】
例5．已知，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角正切公式求得，再利用拆角的方法结合两角差的正切公式，即可求得答案.
【详解】由得，，
而，
故
，
故选：B
例6．设为锐角，若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用角的变换表示，再利用两角差的正弦公式，即可求解.
【详解】因为，，且，
所以,
,
.
故选：B
题意中角若有和差关系或者二倍关系或者两者结合，则可以将所求的角转化成条件中的角，然后进行套公式求解
题意中角若有和差关系或者二倍关系或者两者结合，则可以将所求的角转化成条件中的角，然后进行套公式求解
【跟踪练习】
练习1．已知，则.
【答案】
【分析】先求得，然后利用同角三角函数的基本关系式、降幂公式、二倍角公式、诱导公式等知识求得正确答案.
【详解】.
.
故答案为：
练
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