糖水浓度与数学发现的系列活动课.docx

“糖水浓度与数学发现”的系列活动课文／惠州人

教师：同学们，今天我们来上一节甜甜的活动课．请看，这里摆着一缸清水、一瓶红糖，还有大大

小小的一批玻璃杯．当我将红糖放入水中时，就得出糖水．糖水有浓度①，计算公式为浓度＝溶质／溶液．

下面，我们以糖水浓度的生活常识为背景，设计了5个活动，组成一个由浅入深、由表及里、由现象到本质、由猜想到论证的系列．希望大家在理解每个设计的思维情境的基础上，进行大胆的数学探索，并从整体上去领悟和积累数学活动的经验．

．活动1—等比定理的发现

．活动1—等比定理的发现

（教师把糖放进一个大玻璃杯内，添上水得出一大杯糖水，然后随意分倒在3个小杯中，记每一杯

糖水的浓度为ａ／ｂ、ａ／ｂ、ａｂ，这里ａ、ｂ

（ｉ＝1，2，3）为正数．）

１ １ ２ ２ １ ３ ｉ ｉ

（点评：为方便学生思考，先做了些数据ａ／ｂ的准备，以降低难度．）

ｉ ｉ

教师：我这3小杯糖水的浓度有什么关系?学生（众）：相等．

教师：对，应有

ａ／ｂ＝ａ／ｂ＝ａ／ｂ． ①

１ １ ２ ２ ３ ３

现在，我把这3小杯糖水全都倒进一个空的大玻璃杯中，那么，混合后的糖水浓度与原先3小杯糖水的浓度有什么关系?

学生（众）：相等．

教师：对，是相等．我们把大杯倒成小杯又合成大杯，好像是重复或循环，其实这里有数学道理．大家能根据这一显而易见的生活常识，提炼出一个数学命题吗?

（点评：思维情境的创设已经完成，学生思维的闸门也已打开．）学生1：混合后的糖水浓度为

（ａ＋ａ＋ａ）／（ｂ＋ｂ＋ｂ）． ②

１ ２ ３ １ ２ ３

它与原先的3小杯糖水浓度相等，故有等式

ａ／ｂ＝ａ／ｂ＝ａ／ｂ＝（ａ

＋ａ＋ａ

）／（ｂ＋ｂ＋ｂ

）． ③

１ １ ２ ２ ３ ３

１ ２ ３

１ ２ ３

这就是等比定理：若①则③．

教师：很好，从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前者是“具体的模型”，后者是“抽象的模式”，之间有质的区别．把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗?不是！但舍去了糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性的数量关系——等比定理，这

就成为数学了．现在我问，作为“糖水情境”中的ａ

、ｂ与作为“等比定理”的ａ、ｂ

有区别吗?

ｉ ｉ ｉ ｉ

（点评：完成从模型到模式的过渡后，立即对模式作深化认识．）

学生2：“糖水情境”中的ａ、ｂ只能为正数，并且ｂ＞ａ＞0．而作为“等比定理”的ａ、

ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ

ｂ不需要这么多的限制，有

ｉ

就够了．

教师：是的，“等比定理”中的ａ

、ｂ既允许ａ≥ｂ，又允许取负数．而在范围扩大的同时也

ｉ ｉ ｉ ｉ

增加了一个新风险：分母为零．这是我们在使用等比定理时要特别注意的问题（参见练习1第2题）．对于学生1的回答，我还有一个问题要弄清，你为什么说③式是混合后糖水的浓度．

（点评：对粗糙的模型提炼作更精细的思考．）

学生1：因为ａ

＋ａ＋ａ是3杯糖水中糖的总和，ｂ＋ｂ＋ｂ是3杯糖水的总和，据浓度公

１ ２ ３ １ ２ ３

式可得出③式．

教师：理由说完了?还有补充吗?其他同学还有补充吗?

学生3：ａ＋ａ＋ａ

不一定是糖的总和．

１ ２ ３

教师：为什么?

学生3：在计算小杯糖水的浓度时，分子分母可能有约分，比如21克糖水中有6克糖，其浓度可约分为2／7．

教师：如此说来，当浓度ａ／ｂ没有约分时，式③表示了混合糖水的浓度，那么，ａ／ｂ有约

ｉ ｉ ｉ ｉ

分时，式③还是浓度值吗?学生4：还是!

教师：为什么?此时ａ

＋ａ＋ａ已经不是糖的总和，ｂ＋ｂ＋ｂ也不是糖水的总和了．

１ ２ ３ １ ２ ３

学生4：虽然此时式③不是浓度定义的直接列式，但在数值上与定义式相等．原因是，我们有等比定理作理论依据．

教师：非常好．这样我们就经历了两个相辅相成的阶段：首先由直观情境提炼出数学结论，然后，又用数学结论去解释客观事实．

现在我还要问，根据上面的讨论，你能对式③作出一些补充，从而导致新的数学发现吗?

（点评：继续对粗糙的模型提炼作发散性的思考．）

学生5：若设3小杯糖水的浓度分别约去了ｍ、ｍ、ｍ，则可得混合后的浓度为

１ ２ ３

（ｍａ＋ｍａ＋ｍａ）／（ｍｂ＋ｍｂ＋ｍｂ）． ④

１ １ ２ ２ ３ ３ １ １ ２ ２ ３ ３

从而有命题：若ｂｂｂ

≠0，ｍｂ＋ｍｂ＋ｍｂ≠0，且ａ／ｂ＝ａ

／ｂ＝ａ／ｂ，则

１ ２ ３

１ １ ２ ２ ３ ３

１ １ ２ ２ ３ ３

ａ／ｂ＝ａ／ｂ＝ａ／ｂ＝（ｍ