苏教版八年级上册全等三角形全章复习与巩固.docx

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全等三角形全章复习与巩固（提高）

【学习目标】

解全等三角形的概和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

探三角形全等的判定方法，能用三角形全等进证明，掌握综合法证明的格式；

会作角的平分线，解角的平分线的性质，能用三角形全等证明角的平分线的性质，会用角的平分线的性质进证明 .

【知识网络】

【要点梳】

【全等三角形单元复习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质

判定

判定

一般三角形

边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）

直角三角形

两直角边对应相等

一边一锐角对应相等

斜边、直角边定（

HL）

性质

备注

对应边相等，对应角相等

（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）

判定三角形全等必须有一组对应边相等

要点二、全等三角形的证明思

?? ?找夹角?SAS

?

?

?已知两边?找直角?HL

?? ?找另一边?SSS

?

?

? ?边为角的对边?找任一角?AAS

? ?

? ? ?找夹角的另一边?SAS

?

? ? ?

? ?边为角的邻边?找夹边的另一角?ASA

? ? ?找边的对角?AAS

? ? ?

? ?找夹边?ASA

?已知两角?

? ?找任一边?AAS

?

?

要点三、角平分线的性质

角的平分线的性质定

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

角的平分线的判定定

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

三角形的角平分线

三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.

与角平分线有关的辅助线

在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.

要点四、全等三角形证明方法

全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点 .运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.

证明线段相等的方法：

证明两条线段所在的两个三角形全等.

用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等 .

等式性质.

证明角相等的方法：

用平线的性质进证明 .

证明两个角所在的两个三角形全等.

用角平分线的判定进证明 .

同角（等角）的余角（补角）相等.

对顶角相等.

证明两条线段的位置关系（平、垂直）的方法：

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再用平线的判定或垂直定义证明 .

辅助线的添加:

作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；

(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)用截长 (或补短)法作旋转变换的全等三角形.

证明三角形全等的思维方法:

直接用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.

如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.

如果现有图形中的任何两个三角形之间存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.

【典型题】

类型一、巧引辅助线构造全等三角形

倍长中线法

1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

A

EFB

E

F

【思点拨】 因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明

△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到△ BEG中，用两边之和大于第三边可证.

【答案与解析】BE＋CF＞EF；

证明：延长FD到G，使DG＝DF,连接BG、EG

∵D是BC中点

∴BD＝CD又∵DE⊥DF

在△EDG和△EDF中

?ED?ED

???EDG??EDF

?

??DG?DF

?

∴△EDG≌△EDF（SAS）

∴EG＝EF

在△FDC与△GDB中

?CD?BD

???1??2

?

??DF?DG

?

∴△FDC≌△GDB(SAS)

∴CF＝BG

∵BG＋BE＞EG

∴BE＋CF＞EF

【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：

【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．

【答案】

证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．

∵ EC为中线，

∴ AE＝BE．

?AE?BE,

?在△AEC与△BEF中，??AEC??BEF,

?

??CE?EF,

?

∴ △AEC