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章末复习提升

要点一同角三角函数基本关系及诱导公式

1.(1)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f(sinα,cosα)＝tanα；

(2)诱导公式：可概括为k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.

2.解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用.

例1(1)已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)αeq\f(3π,2)，则cosα－sinα的值为()

A.－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)

C.－eq\f(3,4) D.eq\f(3,4)

答案B

解析由sinαcosα＝eq\f(1,8)0，且eq\f(5π,4)αeq\f(3π,2).

知sinα0，cosα0且cosαsinα，

所以cosα－sinα＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(\r(3),2).

(2)已知sinα是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝.

答案－eq\f(1,3)

解析∵方程2x2－x－1＝0的根为－eq\f(1,2)或1，

又α是第三象限角，∴sinα＝－eq\f(1,2)，

∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(3),2)，

∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(3),3)，

∴原式＝eq\f(cosα（－sinα）,sinα·cosα)·tan2α

＝－tan2α＝－eq\f(1,3).

训练1已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).

(1)求tanα的值；

(2)把eq\f(1,cos2α－sin2α)用tanα表示出来，并求其值.

解(1)由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，

得1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，

所以sinαcosα＝－eq\f(12,25)，

因为α是三角形的内角，

所以sinα0，cosα0，

∴sinα－cosα＝eq\r(（sinα－cosα）2)

＝eq\r(（sinα＋cosα）2－4sinαcosα)

＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))\s\up12(2)＋\f(48,25))＝eq\f(7,5)，

故得sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3).

(2)eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(1＋tan2α,1－tan2α)，

又tanα＝－eq\f(4,3)，

所以eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2))＝－eq\f(25,7).

要点二三角函数式的化简、求值

熟练掌握两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是进行三角函数式化简、求值的关键，注意公式的逆用与变形.对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变成“已知角”.

例2(1)eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值为()

A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)

C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(\r(3),2)

(2)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，且－eq\f(π,2)α0，则eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝(