限时小练49　正切函数的性质与图象.DOCX

限时小练49正切函数的性质与图象

1.(多选)下列说法正确的是()

A.正切函数是周期函数，最小正周期为π

B.正切函数的图象是不连续的

C.直线x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)是正切曲线的渐近线

D.把y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的图象向左、右平行移动kπ个单位，就得到y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠kπ＋\f(π,2)))的图象

答案ABC

解析正切函数是周期函数，周期为kπ(k∈Z)，最小正周期为π；

正切曲线是由相互平行的直线x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(称为渐近线)所隔开的无穷多支曲线组成的，故A，B，C均正确.

选项D中，没有明确k的取值，故D错.

2.若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤1，则x的取值范围是________.

答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋\f(1,2)kπx≤\f(5π,24)＋\f(1,2)kπ))，k∈Z))

解析由题意可得－eq\f(π,2)＋kπ2x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，

解得－eq\f(π,6)＋eq\f(1,2)kπx≤eq\f(5π,24)＋eq\f(1,2)kπ，k∈Z.

3.设函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))).

(1)求函数f(x)的最小正周期和它的图象的对称中心；

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.

解(1)f(x)的最小正周期T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,\f(1,2))＝2π.

令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，

∴f(x)的对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z).

(2)令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝0，则x＝eq\f(2π,3)；

令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,4)，则x＝eq\f(7π,6)；

令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,4)，则x＝eq\f(π,6)；

令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，则x＝eq\f(5π,3)；

令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,2)，则x＝－eq\f(π,3).

∴函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的图象与x轴的一个交点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，

在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(5π,3)，

从而得到函数y＝f(x)在一个周期eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))内的简图(如图).