限时小练50　两角差的余弦公式.DOCX

限时小练50两角差的余弦公式

1.已知锐角α，β满足cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，则cosβ的值为()

A.eq\f(33,65) B.－eq\f(33,65)

C.eq\f(54,65) D.－eq\f(54,65)

答案A

解析因为α，β为锐角，cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，

所以sinα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13)，

所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα

＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(33,65).

2.若sinαsinβ＝1，则cos(α－β)的值是________.

答案1

解析∵sinαsinβ＝1，

∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝－1，,sinβ＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝1，,sinβ＝1.))

∵cos2α＋sin2α＝1，∴cosα＝0.

同理cosβ＝0.

∴cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0＋1＝1.

3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1，t)，且点P到原点的距离为eq\f(\r(6),2).

(1)求实数t的值；

(2)若α，β均为锐角，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，求cosβ的值.

解(1)由题意得1＋t2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)，

解得t＝±eq\f(\r(2),2).

(2)∵α为锐角，∴t＝eq\f(\r(2),2)，即点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2))).

∴sinα＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)))＝eq\f(\r(3),3)，

∴cosα＝eq\f(\r(6),3).

又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，

由cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，得sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\f(4,5).

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα

＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(6),3)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),3)＝