清华大学信号与系统课件36傅立叶变换的基本性质.pptxVIP

清华大学信号与系统课件36傅立叶变换的基本性质

目录

contents

傅立叶变换的定义与性质

傅立叶变换的运算性质

傅立叶变换的应用

傅立叶变换的逆变换

傅立叶变换的频域分析

傅立叶变换的定义与性质

01

傅立叶变换是信号处理中常用的数学工具，可以将时间域的信号转换为频率域的信号，或者将频率域的信号转换为时间域的信号。

傅立叶变换的基本形式为：$F(omega)=int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{-iomegat}dt$，其中$f(t)$是时间域的信号，$F(omega)$是频率域的信号。

线性性

奇偶性

时移性

频移性

傅立叶变换具有线性性质，即对于两个信号$f_1(t)$和$f_2(t)$，有$F_1(omega)+F_2(omega)=int[f_1(t)+f_2(t)]e^{-iomegat}dt$。

傅立叶变换具有奇偶性质，即对于奇函数$f(-t)=-f(t)$，有$F(omega)=0$；对于偶函数$f(-t)=f(t)$，有$F(omega)=F(-omega)$。

傅立叶变换具有时移性质，即对于时移信号$f(t-t_0)$，有$F(omega)=e^{-iomegat_0}F(omega)$。

傅立叶变换具有频移性质，即对于频移信号$f(t)e^{iomega_0t}$，有$F(omega-omega_0)=F(omega)e^{iomega_0t}$。

傅立叶变换的物理意义在于将信号从时间域转换到频率域，从而可以更好地分析信号的频率成分和频率特性。

通过傅立叶变换，可以方便地计算信号的频谱密度函数、频率响应函数等，从而对信号进行滤波、调制解调、频谱分析等处理。

傅立叶变换的运算性质

02

若$a$和$b$是常数，且$f(t)$和$g(t)$是可傅立叶变换的，则$af(t)+bg(t)$的傅立叶变换为$aF(omega)+bG(omega)$，其中$F(omega)$和$G(omega)$分别是$f(t)$和$g(t)$的傅立叶变换。

线性性质

线性性质是傅立叶变换的基本运算性质之一，它表明傅立叶变换满足线性组合的性质，即两个函数的线性组合的傅立叶变换等于各自傅立叶变换的线性组合。

意义

积分性质

若$f(t)$是可积的，则$intf(t)dt$的傅立叶变换为$frac{1}{jomega}F(omega)$，其中$F(omega)$是$f(t)$的傅立叶变换。

意义

积分性质表明函数的积分的傅立叶变换等于函数傅立叶变换除以$jomega$。这个性质在分析信号的低频分量时非常有用，特别是对于分析信号的直流分量。

傅立叶变换的应用

03

03

信道估计与均衡

利用傅立叶变换对信道进行频域均衡，补偿信道畸变，提高通信系统的性能。

01

信号调制与解调

傅立叶变换在通信系统中用于信号的调制与解调，将信号从时域变换到频域，便于信号的传输和处理。

02

多载波通信

通过傅立叶变换实现多载波调制，如OFDM（正交频分复用）技术，提高信号传输效率和抗干扰能力。

通过傅立叶变换分析系统的频率响应，判断系统的稳定性。

系统稳定性分析

控制系统设计

信号处理与故障诊断

利用傅立叶变换设计控制系统的传递函数，优化系统性能。

在控制系统中，傅立叶变换用于信号处理和故障诊断，提取系统的特征信息，提高系统的可靠性和安全性。

傅立叶变换的逆变换

04

VS

如果一个函数f(t)的傅立叶变换存在，那么对于任意实数k和实数t，函数f(t)的傅立叶变换F(ω)存在一个逆变换F^(-1)(ω)，使得F^(-1)(ω)*e^(iωt)dω=f(t)。

逆变换的性质

逆变换具有线性、时移、频移、共轭、反转等性质，这些性质与傅立叶变换的性质相对应。

逆变换的定义

通过傅立叶变换将信号从时间域转换到频率域，可以更好地分析信号的频率成分和频率变化规律，从而对信号进行滤波、去噪、调制解调等处理。

通过傅立叶变换可以将线性时不变系统从时间域转换到频率域，从而更好地分析系统的频率响应和稳定性，为系统的设计和优化提供依据。

信号处理

系统分析

傅立叶变换的频域分析

05

频域分析的定义

频域分析是研究信号在频率域的表现和特征的方法，通过将信号从时间域转换到频率域，可以更好地揭示信号的内在规律和特性。

频域分析的性质

频域分析具有线性性、时移性、频移性、共轭性和对称性等性质，这些性质为信号处理提供了重要的理论依据和工具。

频域卷积定理

频域卷积定理表明，两个信号在时域的卷积等于它们在频域的乘积，这为信号的滤波和合成提供了重要的理论基础。

要点一

要点二

频域微分与积分