高级中学高三月考试数学理试题.docVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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常州市高级中学2013届高三数学(理科）练习2012.12。8

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．若复数）是纯虚数,则实数的值为___▲____

2。集合，，若,则的值为▲

开始i?1，s?1i?5s

开始

i?1，s?1

i?5

s?s?3

i?i+1

输出s

结束

否

是

4．平面直接坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则▲

5．某学校有两个食堂，甲,乙，丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为▲．

6．右图是一个算法流程图,则执行该算法后输出的▲．

7．设△的内角的对边分别为，且,，则=▲

8．设向量,，，的夹角为，则实数▲

9．过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为▲

10．已知函数，若，则实数的取值范围是▲

11.设函数，观察:

根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，=▲

12.平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为▲

13．已知函数，若关于的方程满足有且仅有三个不同的实数根，且分别是三个根中最小根和最大根，则的值为▲；

14．已知，记，

，若，则的最大值为▲

二、解答题:本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．

15．在中,角的对边分别为,且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求面积的最大值.

16．已知圆过点，且与圆：关于直线对称．

(1)求圆的方程；

(2)设为圆上的一个动点,求的最小值；

17．如图，2012年春节,摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米(将眼睛距地面的距离按米处理）

(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；

(2）立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

18．如图,椭圆：+=1的右顶点是，上下两个顶点分别为，四边形是矩形(为坐标原点），点分别是线段的中点。

求证：直线与直线的交点在椭圆上。

过点的直线与椭圆分别交于（不同于点），且它们的斜率满足

求证:直线过定点，并求出此定点的坐标.

19．设数列,对任意都有，（其中、、是常数）.

（1）当,，时，求；

（2)当,，时，若，，求数列的通项公式；

（3）若数列中任意（不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列.当,，时，设是数列的前项和,,试问：是否存在这样的“封闭数列,使得对任意，都有，且．若存在,求数列的首项的所有取值；若不存在,说明理由．

20．已知函数(且).

（Ⅰ）求函数的单调区间；

(Ⅱ）记函数的图象为曲线。设点，是曲线上的不同两点。如果在曲线上存在点，使得:①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在“中值相依切线，请说明理由.