限时小练54　简单的三角恒等变换.DOCX

限时小练54简单的三角恒等变换

1.(多选)已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x，则下列说法正确的是()

A.f(x)的最大值为2

B.f(x)的最小正周期为π

C.f(x)的图象关于直线x＝－eq\f(π,8)对称

D.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递增

答案BCD

解析∵f(x)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)

＝eq\f(1,2)(sin2x－cos2x)＋eq\f(1,2)

＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，

∴f(x)max＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2)＋1,2)，最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.

当x＝－eq\f(π,8)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝－1，

∴直线x＝－eq\f(π,8)为对称轴.

当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，

∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递增，

综上有B，C，D正确，A不正确.

2.化简：eq\f(sin4x,1＋cos4x)·eq\f(cos2x,1＋cos2x)·eq\f(cosx,1＋cosx)＝________.

答案taneq\f(x,2)

解析原式＝eq\f(2sin2xcos2x,2cos22x)·eq\f(cos2x,1＋cos2x)·eq\f(cosx,1＋cosx)＝eq\f(sin2x,1＋cos2x)·eq\f(cosx,1＋cosx)

＝eq\f(2sinxcosx,2cos2x)·eq\f(cosx,1＋cosx)

＝eq\f(sinx,1＋cosx)＝taneq\f(x,2).

3.已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))，g(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,4).

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.

解(1)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx－\f(\r(3),2)sinx))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx＋\f(\r(3),2)sinx))

＝eq\f(1,4)cos2x－eq\f(3,4)sin2x

＝eq\f(1＋cos2x,8)－eq\f(3（1－cos2x）,8)

＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,4)，

∴f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.

(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,2)sin2x

＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，

当2x＋eq\f(π,4)＝2kπ(k∈Z)，

即x＝kπ－eq\f(π,8)(k∈Z)时，h(x)有最大值eq\f(\r(2),2).

此时x的集合为